▷ 实数教案 ◁
数学实数复习教学设计
一、知识疏理，形成体系。（课前要求学生对本章知识进行总结）
师：本章的主要内容是开方运算。下面，我们以组为单位小结一下本章的知识点。
生：我们认为这一章主要学习了一种新的运算——开方，开方与乘方是互为逆运算的关系。
开方包括开平方与开立方。通过开平方可求一个非负实数的平方根；通过开立方可求一个实数的立方根。依据这一思路，我们画出的知识结构图是：
师：好！他们组是以运算为线索总结的，侧重总结了开方运算，还有补充吗？
生：我们认为平方根、算术平方根、立方根的定义、性质也都非常重要。因此我们是这样总结的`：
师：同样是开方运算，算术平方根，平方根，立方根有哪些区别和联系呢？
生：比较算术平方根，平方根，立方根的概念和性质，我们总结出了如下表的区别与联系。
师：同学们总结的非常好！不仅全面而且重点突出。下面我们针对刚才总结的内容做几道练习。
二、强化基础，巩固拓展。（也可以由学生提出典型薄弱题型进行讲解）
1.求下列各数的平方根：
（1） ；（2） ；（3） .
师：本题要审清是求哪个实数的平方根，只有非负实数才有平方根。
生：
（1）是求 的平方根；
（2）是求16的平方根；
（3）是求 的平方根。
由学生独立完成。
2.x取何值时，下列各式有意义。
（1） ； （2） ；
（3）
师： 在什么情况下有意义？
生：对于 ，必须满足a≥0，它才有意义，所以被开方数必须是非负数。
（1）4+x≥0；
（2）4+x ≥0；
（3）2x-1取任意实数。
师：如何求出x的范围呢？
生：我们讨论后，得出如下结论：
（1）x≥4；
（2）不论x取什么实数，x ≥0，4+x ≥0，即x的取值范围是：x为全体实数。
（3）2x-1取任意实数，即x的取值范围是全体实数。
3.已知：|x－2|＋ ＝0，求：x＋y的值。
师：认真审题，考虑一下所给的这些数有什么特点。
生：|x－2|和 都是非负数。
师：两个非负数的和可能是0吗？
生：只有当两个非负数都取0时，其和才为0，其他情况下，都大于0.
由学生独立完成。
师：哪些数为非负数呢？
生：实数a的绝对值，表示为|a|，|a|是非负数；实数a的平方，表示为a2，a2是非负数；非负实数a的算术平方根表示为 ， 是非负数。
师：非负数有什么特点？
生：（1）几个非负数的和仍为非负数；
（2）若几个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0.
4.掌握规律
那么：0.17201的平方根是多少呢？师：同学们仔细观察这道题，你发现了什么规律？如果是立方根呢？
由学生自己观察归纳。
三、查缺补漏，归纳提升。
1.通过今天的探究学习，你们有哪些收获？
2.非负数的和等于零的条件是：当且仅当每个非负数的值都等于零。此性质在解题时经常会被用到。
3.对于本章的内容你还有那些疑问？
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其实一个人挺好的，无忧无虑自由自在。不必为了爱人而担忧，更不会有为了分手而哭泣。///或许我已经习惯了一个人。一个人走路，一个人骑车，一个人乱逛，一个人思考，一个人独立，一个人…… 九零的我长那么大了既然还是单身，想想还真是可笑。不了解我的人都认为我肯定有女朋友了，而了解我的人都知道我一直在寻找 却不敢开口说喜欢。或许是我害怕受到伤害吧，也或许是我要求太高了吧，更或许是缘份未曾敲开门。DJ的歌我不喜欢，只喜欢励志和优雅的.歌。 我很奇怪的是情侣间的分分合合，这或许是他们觉得好玩，也或许是为了逃避寂寞而在一起，更或许是不信任不体谅对方。我的朋友就经常向我诉说，而我只是笑笑。我觉得爱情有一个磨合期，过了就…… 其实我挺习惯一个人的，也挺会享受一个人的乐趣。每次我开车去上班时都会在嘴边哼唱几首我喜欢听的歌同时享受着风的吹拂，景的冷傲。而一个人静下来的时候我就想写东西或躺下来享受心灵的洗礼。一个人的时候我喜欢看一些专业书和哲理书或对自己有益的书。感觉生活很充足。虽然偶尔也有烦恼，但这却没有困扰到我。曾经有个朋友对我说你有时太好强了，我怕你受不了打击 建议你多看些心理书。其实她的担心是多余的，自从我学会了“笑”－－笑对人生。我感觉自我控制能力更强了，同时我也心理承受能力与调控更强了。偶尔我也看看过一些心理书，也知道心理暗示的强大。我发现我要是多看些不是专业的书或小说的书，在怎么累我的心都不会麻木，再运用意志＋心理暗示＋深呼吸就能调整过来。因此我对自己的未来更充满信心，但我也渴望有个爱我的人能在背后默默支持鼓励我，让我更具激情！但没有，我也不勉强，一切顺其自然。虽然我相信人定胜天！ 朋友，别为一个人独处而悲哀。一个人也有一个的好处，至少让你学会独立学会思考学会生活，还能让你更具魅力！
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【知识与技能】
1.了解无理数和实数的概念,会将实数按一定的标准进行分类.
2.知道实数与数轴上的点一一对应.
【过程与方法】
1.了解无理数和实数的概念,适时拓展数的观念.
2.通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数形结合”思想.
【情感态度】
从分类、集合的思想中领悟数学的内涵,激发兴趣.
【教学重点】
正确理解实数的概念.
【教学难点】
对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解.
一、情境导入，初步认识
问题请学生回忆有理数的分类,及与有理数相关的概念等.教师引导得出下列结论:任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,如等.
引导学生反向探讨:任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗?
【教学说明】任何一个有限小数和一个无限循环小数都可以化成分数，所以任何一个有限小数和一个无限循环小数都是有理数.
二、思考探究，获取新知
例1
(1)试着写出几个无理数.
(2)判断下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?
《实数》课时练习含答案
1.(20xx?安徽模拟)把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}、{﹣2，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素.如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合.下列集合为好的集合的是( )
A. {1，2} B. {1，4，7} C. {1，7，8} D. {﹣2，6}
答案：B
知识点：实数.
解析：根据题意，利用集合中的数，进一步计算8﹣a的值即可.
解：A、{1，2}不是好的集合，因为8﹣1=7，不是集合中的数，故错误;
B、{1，4，7}是好的集合，这是因为8﹣7=1，8﹣4=4，8﹣1=7，1、4、7都是{1、4、7}中的数，正确;
C、{1，7，8}不是好的集合，因为8﹣8=0，不是集合中的数，故错误;
D、{﹣2，6}不是好的集合，因为8﹣(﹣2)=10，不是集合中的数，故错误;
故选：B.
本题考查了有理数的加减的应用，要读懂题意，根据有理数的减法按照题中给出的判断条件进行求解即可.
《6.3实数》专项测试题
1、下列说法正确的是( )
A.单独的一个数或一个字母也是代数式
B.任何有理数的绝对值都是正数
C.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
D.数轴上的任意一个点都可以表示一个有理数
【答案】A
【解析】解：数轴上的点可表示为有理数和无理数。
两个数的绝对值相等，这两个数相等或者互为相反数。
绝对值是（）。
2、下列说法正确是()
A不存在最小的实数B有理数是有限小数
C无限小数都是无理数D带根号的数都是无理数
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本节课的主要内容是让学生理解算术平方根的概念，掌握算术平方根的符号表示；了解算术平方根的非负性，会用平方求某些非负数的算术平方根；同时建立初步的数感和符号感。
在新课程理念的指导下，我精心设计了本节课的教学。在教学实施的过程中的体会主要表现在以下几个方面：
1、在算术平方根的教学中要注重概念形成过程的教学，让学生不仅掌握概念，而且知晓它的理论依据。提倡学生先以讲学稿为指导进行自学，并能与同学互相交流与合作，变被动学习知识为主动探索 。
2、 通过学生在学习中相互合作，对概念进行分析，通过分析讨论，牢固准确的掌握概念。
3、加强课堂教学与生活实际的联系，激发学生的积极性。鼓励学生深入社会、亲身体验，在实践中发现问题、提出问题。
在我们的课堂教学中，有许多值得学生自主探究的机会，只要教师善于发现、善于创造、善于思考、善于探索，学生的能力一定能得到更大的发展。
教学过程中学生容易出现的几种错误主要有：
1、在求一个非负数a的算术平方根时，容易出现：a= 这样的错误。
2、对于 、 等求算术平方根容易出错。
出现上述原因我觉得还是学生对算术平方根的'概念不是很理解。在以后的教学过程中要通过练习发现学生存在的问题，并对一些典型的错题进行分析讲解，通过练习规范学生的解题格式，提高学生解决实际问题的能力。
本节课的内容不是很多，但这是学好平方根，为后面学习立方根及运用平方根进行基本运算和解决实际问题打下基础的关键。
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作者：吴立勇
**：《广西教育·a版》2014年第11期【关键词】数学活动经验积累
数学教学
【中图分类号】g 【文献标识码】a
【文章编号】0450-9889（2014）11a-0030-01
数学经验的积累是小学数学教学的基本要求，也是提高学生数学素养的核心内容之一。因此，数学教学应抓实数学活动，以丰富学生的感知，发展学生的数学思维，促进学生积累必要的活动经验，为学生的终身学习奠定坚实的基础。数学活动经验就是学生在经历必要的数学活动过程中获得的对于数学的体验和认知的模式，是学生个体在具体的数学活动基础上获得的经验。
以下是三种促进学生经验积累的方法。
1、 教材宏观解读，内涵脉络清晰
教学预设中，如果我们能够从整体上解读教材，全面、理性地将数学基本活动经验的唤醒与积累有机地融合到教学目标的整体思考中，科学地将数学活动经验牢牢地依托在知识的递进历程中，并渗透孕伏于无形，我们的数学教学将会成为学生快速成长、快乐学习的摇篮，也会促进学生形成终身受益的经验财富。
如，苏教版小学数学教材关于图形认识的编排，就促使教师要学会审视教材，学会解析学生的学情，学会激活学生的活动经验，开发应有的活动情境让学生学会运用经验，学习深化经验，学习扩张经验，从而促使学生的数学能力得以长足发展。其中关于面积学习的经验就是我们必须重视的，要让学生在尝试运用、传承运用和创新运用中实现突破。例如，在三年级，他们学习用平方数的方法来解决面积大小的问题，这给了学生一种实践经验。
在五年级学习多边形面积公式推导的过程中，一方面让学生利用已有的经验，学会计算平行四边形的面积；另一方面，它唤醒并积累了学生的拼字经验。教材在第一单元的《实践与探索》学习中就有意识地编排了剪一剪、移一移、拼一拼等实践活动，以此唤醒学生的转化意识，激活学生的数学活动经验，从而为新知的探索提供经验支撑和保障；再则通过平行四边形面积公式的推导活动，让学生知道数学经验在学习中的不同作用，并在三角形面积公式推导的开始就提出“请大家思考三角形的面积推导，你准备怎么做”，有意识地将学生的注意力和研究的着力点都集中指向问题**、操作方法和转化意识等经验的运用上。通过三角形的面积公式新方法的运用，在丰富学生感知的同时，也丰厚了学生的数学活动经验，学会用两个完全一样的图形去组拼成平行四边形。
由于活动经验的不断加厚，这种活动经验积累为让学生自主探索推导梯形面积公式提供了一种探索的思路，也积累了最坚实的基本活动经验。
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1、在教学中，要突出了讨论无理数和实数的概念，实数是在有理数的基础上中以扩充的，定义了无理数之后，有理数和无理数统称为实数。对实数的比较大小和运算两个问题。可以通过类比由有理数得到。
2、由于分类的标准不同，实数分类的方法可以有多种。在这主要介绍了两种分类方法：一种是按有理数和无理数分类；一种是按实数的大小分类。无论采取哪种分类方法，关键是不重不漏。通过教学，向学生渗透对概念进行分类的原则：一是要选定一个属性为标准，选择的标准不同，分类的结果也不同，但每次分类不能同时选用两个以上的不同属性作标准；二是不越级进行分类，就是说分类的结果应该是它的邻近的种类概念，而不能越级，如把实数分为整数、分数和无理数，就是越过了“有理数”这一级，这是不正确的。正确的科学分类经常采用二分法，即在每一次分类时，将被分类的所属概念以某一属性为标准，分成且仅分成互不相容的两个矛盾关系的两种概念，并且逐级地这个分下去。二分法不仅是全面地、系统地掌握要领的重要的分类方法，而且也是系统地分析问题和解决问题的`有力方法。
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班级姓名
【学习目标】
1了解算术平方根、平方根和立方根的概念，能用根号表示数的算术平方根、平方根和立方根
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用开平方运算求某些非负数的平方根，会用开立方运算求某些数的立方根.
三。了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；将数的范围从有理数扩展到实数后，讨论了概念与运算的一致性及其发展变化
【活动过程】
活动一：以题理知，巩固双基
1.25的算术平方根为；3的平方根是 ；的平方根是 ；的平方根是 。
2求下列数的立方根：①-2705
3427的立方根和16的平方根之和是
5.在下列各数：3.1415926；；0.2；；；；；中，无理数的个数（ ）
a．5b．4c．3d．2
6的相反数是-π的绝对值是
7的整数部分。小数部分是
8.计算2)3×
活动二：拓展训练，总结提升
1.已知x，y是实数，且（x+y﹣5）2与互为相反数，求实数yx的立方根．
2.若与互为相反数，求的值.
课堂小结：通过这节课的学习你有何收获？
【检测反馈】
1.若=3，则x= 。
2.在两个相邻的整数和之间。
3.比较大小：（1） ；（2）4 ；
4.计算：（12）
5利用平方根和立方根知识求解方程
（1） 3x-27=02）64-27x=0
6假定正数m的两个平方根分别是a+3和2a-15，求m的值。
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一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数 零有限小数和无限循环小数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住无限不循环这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如7，2等；
（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等； 3
（3）有特定结构的数，如0。1010010001等；
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|=a，则a0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和1.零没有倒数。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a的平方根记做a。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作a。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a（a0）
a2a ；注意aa0
a（a0）a0
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的.有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做a10n的形式，其中1a10，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
五、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
ab0ab，
ab0ab，
ab0ab
（3）求商比较法：设a、b
aaa1ab;1ab;1ab; bbb是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则abab。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则a2b2ab。
六、实数的运算
1、加法交换律abba
2、加法结合律（ab）ca（bc）
3、乘法交换律abba
4、乘法结合律（ab）ca（bc）
5、乘法对加法的分配律 a（bc）abac
6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么？
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？
相同因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作： a。
9、有理数乘方运算的法则是什么？
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？
去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
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本节课的教学设计，是在新课改理念指导下，根据本班学生的实际情况进行设计的。课后对本节课有如下反思：
成功之举
1、从实施情况来看，整堂课学生情绪高涨，充分参与教学全过程。由于课前有针对性地选取了例题和练习题，大部分同学都能自主完成，体会到成功的喜悦。同时，大多数同学能积极举手发言，主动到前面演示自己的解题过程。这些都充分体现了快乐课堂的宗旨，我觉得这节课，同学们是快乐的。
2、教学注重让学生自主学习，合作探究，充分发挥了学生的学习主动性，也培养了学生的合作意识。在学习过程中，及时给予评价，调动了学生学习的兴趣和热情。
不足之处
1、时间安排上有些前松后紧，知识回顾部分由于学生回答举例所用时间较长，占用了练习部分的时间。
2、学生对分数指数幂与根式的互化运算是一个难点，对于稍微复杂一点的根式化简会转化为分数指数幂，然后利用指数的运算性质化简，在后面的教学中还要注意渗透相关的题目。
3、学生的课堂小结还不够成熟，总结的不到位，不准确。以后要逐渐培养学生的归纳总结能力。
新课改还在进行，每种课型的模式也都在摸索之中。我要对每节课及时反思，及时改正不足，总结经验。使教学过程更优化，从而取得更好的教学效果。
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本节采用与有理数对照的形式，引入了无理数的概念，进而以在数轴上表示和为例，说明数轴上如何表示无理数。最后把数的概念扩充到实数范围。然后在实数范围内说明如何运用相反数和绝对值的定义进行相反数和绝对值的化简。整节课的设计流畅，目标明确，重难点把握适当。
在教学过程中，老师能把握好教学尺度，调动学生的积极性，运用生本教育的理念，让学生自己去领会实数的概念。在几个知识点中，合并同类根式是学生的难点。老师用了较多时间进行训练。
教学中需要注意的问题有：
（1）近似计算训练较少。学生对近似理解不到位，准备工作不足，还有部分学生没有计算器。
（2）教学难度的把握不统一。各个班级的教学程度相差较大。实验班和平行班的要求没有明确达到何种程度。导致了部分班级学生产生分化。
（3）数学思想的渗透不够。本节是一一对应、数形结合、分类、类比等思想的典型学习材料，在教学过程中挖掘得还不够。
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