⬘ 导数乘法的算术思想总结 ⬘
定义了变步长半隐式Enler方法,并将其应用于线性随机比例延迟微分方程,得到方程数值方法的差分方程,并证明了在随机比例延迟微分方程解析解均方稳定的条件下,当半隐式Euler方法中的'参数θ满足条件θ∈(|a|+|b|/2|a|,1]时,此方法应用于线性随机比例延迟微分方程所得的数值解是均方稳定的.最后给出了数值算例.
作 者：肖宇 张海莹 Xiao Yu Zhang Haiying 作者单位：肖宇,Xiao Yu(哈尔滨工业大学,数学系,哈尔滨,150001)张海莹,Zhang Haiying(哈尔滨工业大学,航天学院,哈尔滨,150001)
刊 名：黑龙江大学自然科学学报 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF NATURAL SCIENCE OF HEILONGJIANG UNIVERSITY 年，卷(期)：2008 25(3) 分类号：O189.1 关键词：随机比例延迟微分方程 均方稳定 半隐式Euler方法⬘ 导数乘法的算术思想总结 ⬘
一、教材分析
导数的概念是高中新教材人教A版选修2-2第一章1.1.2的内容， 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。
问题1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率
问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点
二、教学目标
1、知识与技能：
通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：
①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力
②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法
3、情感、态度与价值观：
通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
三、重点、难点
重点：导数概念的形成，导数内涵的理解
难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵
通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点
⬘ 导数乘法的算术思想总结 ⬘
导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的'比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
⬘ 导数乘法的算术思想总结 ⬘
本节课有了利用导数判断函数的单调性作铺垫，借助函数图像的直观性探索归纳出导数极值的定义，利用定义求极值。在教学中，发现学生对复杂函数的求导的准确率较低，说明学生对求导公式的运用不够熟练，在平时要多加练习强调。
本节课的难点的函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件，虽然在教学中占用了较长的时间解释，但是学生理解程度的并不理想，还需在课后多加跟踪训练。
通过课后教学测试反馈的主要问题是求极值过程的书写格式不规范，为了打下牢固的基础，减少失误，我要求学生采用列表的方式，通过几道题的练习，学生逐渐接受了这种方式，也发现了这种方式的简便性。
通过这节课，让我对以下几点思考有了更加深刻的感受：
1不论哪一个成绩段的学生，基础都是最重要的。尤其在新课讲授的第一课时中，要对基础知识重点讲解。
2.“好好备课，慢慢讲课。”把课堂尽量还给学生，尽可能多的给学生“想”和“说”的时间。
3.对于解决问题的方法要师生共同总结，从中体会收获学习成果的喜悦，教师要对方法结论中容易出现问题的地方重点强调。但不能墨守成规，要充分理解，灵活应用。
⬘ 导数乘法的算术思想总结 ⬘
(1)理解平均变化率的概念、
(2)了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念、
(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率、
【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果DDD微积分的产生。
【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系
h(t)=-4、9t2+6、5t+10、
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢、从数学角度,如何描述这种现象呢?
当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了、
【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系h(t)=-4、9t2+6、5t+10、
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。
【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。
这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1)运动员在这段时间里是静止的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态、
平均变化率:
上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子
我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率、
同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：
【几何意义】观察函数f(x)的图象，平均变化率的几何意义是什么?
探究2当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?
当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值C13、1、
从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度、因此,运动员在t=2时的瞬时速度是C13、1m/s、
为了表述方便，我们用xx表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值C13、1”、
表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13、1”、
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻的瞬时速度?
【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t=2秒时的瞬时速度。
探究3:
(1)、运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?
(2)、函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?
导数的概念:
由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:
例题1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热、如果第xh时,原油的温度(单位:)为y=f(x)=x2C7x+15(0≤x≤8)、计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义、
在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为C3和5、它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升、
⬘ 导数乘法的算术思想总结 ⬘
为了研究集值随机过程的微积分理论,利用有界闭凸集合弱收敛的性质和集合“开”的概念,给出了有界闭凸集值随机过程的均方导数的'定义,建立了均方导数的若干性质,并讨论了集值随机过程均方可导与均方连续的关系.
作 者：刘常昱 李世楷 作者单位：解放军理工大学,理学院,江苏,南京,211101 刊 名：解放军理工大学学报(自然科学版) ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF PLA UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 4(3) 分类号：O211.6 关键词：有界闭凸集值随机过程 均方导数 弱收敛⬘ 导数乘法的算术思想总结 ⬘
一、教材分析
（一）内容安排
本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分。 导数的初步知识。关键是导数概念的建立。这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义。然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数。
这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”。
导数的应用。这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法。然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法。最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法。
（二）教学目标
根据《大纲》的规定，本章的教学目标是：
1． 了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；
掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
2． 熟记基本导数公式。[c’=o,(c为常数)，（xn）’=n(xn-1),(sinx)’=cosx,(cosx)’= -sinx]
3． 掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。
4． 了解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。
5． 会求指数函数和对数函数的导数。（熟记ex,ax,lnx,logax的导数公式）
6． 会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取极值的必
要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般是指单峰函数）的最大值与最小值。
7． 过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值，文化价值和基本思想。
（三）、重点与难点
从教学角度考虑本章的重点之一是：根据导数定义求简单函数导数的方法。一方面，按导数的定义求导数可以帮助学生进一步理解导数的概念；另一方面，像两个函数四则运算的求导法则，复合函数的求导法则等，都是由导数的定义导出的，要掌握这些法则，须在理解的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数。
从学生掌握知识的角度考虑本章的重点之二是：掌握利用导数判别可导函数极值的方法。教材关于导数的应用，主要涉及的是可导函数单调性、极值和最大（小）值的判定，其中最关键的是可导函数极值的判别定。通过判定可导函数的极值，可以使学生加深对可导函数单调性与其导数的关系的了解；并且，掌握了可导函数极值的判别法之后，再学习可导函数的最大值与最小值的判定方法，就不成问题了。
难点之一：对导数概念的理解。一方面，导数的概念建立在极限的思想上，因此它比较抽象；另一方面，导数概念的定义方法学生不太熟悉。教学中，应结合光滑曲线的斜率，非匀速直线运动的瞬时速度等实际背景，从物理和几何两方面入手引导学生逐步理解导数的概念。
难点之二：求实际问题（包括科技、经济、社会中的）的最大值与最小值。在掌握可导函数极值的判别法之外，判定可导函数的最值并不困难，但对一些实际问题，往往会遇到障碍。这里关键是能从实际问题的不同情景出发，建立与之相应的函数关系（即建模）
本章共编了9小节，教学课时约需18节（仅供参考）
3．1导数的概念 约3课时
3．2几种常见函数的导数 约1课时
3．3函数的和、差、积、商的导数 约2课时
3．4复合函数的导数 约2课时
3．5对数函数与指数函数的导数 约2课时
3．6函数的单调性 约1课时
3．7函数的极值约2课时
3．8函数的最大值与最小值 约1课时
3．9微积分建立的时代背景和历史意义 约1课时
本章小结与复习约2课时
二、教材主要特点
（一）、加强知识发生过程的学习
学生开始接触的知识，关键是对导数的基本概念、性质等有一个初步的认识，进而达到能够运用由其内容反映出来的数学思想和方法的目点。为此，适当介绍有关概念、性质的来龙去脉，对学生了解、把握它们是十分必要的。
本章的主要概念是导数，教科书在讲述导数的概念时，首先用比较多的篇幅介绍了导数产生的几何背景——光滑曲线的切线的斜率，以及物理背景——瞬时速度，由此引出函数在一点的导数的定义。接下来，又阐述了导数的几何意义，这样处理，符合学生的认识规律，有利于学生正确理解和掌握导数的意义。
函数的单调性、可导函数的极值与函数的最大值与最小值是导数应用的具体内容，为了使学生能够正确地运用相应的方法，教科书首先从几何直观上让学生了解这此概念，进而引出它们与导数的关系，从而获得解决问题的方法，这样处理，符合知识的发生和发展过程及学生的认识规律，有利于学生正确理解和运用相应的方法。而整章从介绍光滑曲线的斜率，以及物理背景——瞬时速度（知识的发生），到导数的概念和基本函数的导数及有关求导法则（知识的发展）直到最后导数的应用，更是遵循了微积分建立的历史过程。
（二）、降低理论要求，重视数学应用
学习导数，要着眼于用导数的知识及其思想方法解决数学学习、日常生活与工作中的问题。高中阶段，在导数概念的严谨性、知识的系统性上多花时间与精力，既没有必要也不可能收到明显的效果。因此，与以往高中教材中的导数部分比较，本章在数学应用的内容上适当加强了，而在理论要求上则有所降低。
本章导数的初步知识中介绍了一此导数公式与求导法则，教材侧重的是公式在求导中的应用，而淡化（或删除了）公式与法则的理论推导。
例如，在导数公式中，函数xm的导数公式只给了m是正整数情况下的证明，函数sinx、cosx的导数公式则没有给出证明；（对数函数与指数函数的导数公式没有给出证明，是因为超出了目前的学习范围），在两个函数四则运算的求导法则中，没有给出商的求导法则的证明，没有给出复合函数求导法则的证明（最近册去）这些都表明皆在降低理论要求
本章开篇，就用了一个“当容积相同时，圆柱形罐的尺寸怎样，其表面积最小”的实际问题作引言，这是导数应用的问题。在建立导数的概念时，又先由两个具体问题作辅垫，突出了导数与实际问题及有关知识的联系，体现了它的应用价值，这样也可以激发学生学习导数知识的兴趣，培养应用知识的意识，有助于激发学生的'创新意识。在具体应用部分，教材重点配备了一些联系实际（科技、经济、社会）的例题与习题（3.8例2、例3，小结复习中例2、习题3.8：3、4、5，复习参考题中A组14、15，B组6等。）
三、教学中应注意的问题
（一）突出教学重点，把握教学要求
为了提高教学效率，在每个知识的教学中，一定要抓住重点，并把握好教学要求的深度和广度。
1．3.1导数概念中，学习导数概念的实际背景时，侧重点应放在瞬时速度的讲授上，而将光滑曲线的切线的斜率作为辅导材料。这是因为所汲及地物理背景比较贴近学生的生活经验，学生容易理解。可关于曲线的切线，在对极限的思想还不熟悉的时候，要学生体会“PQ是曲线的割线，当点Q沿着曲线无限接近于点P时，如果割线PQ有一个极限位置，则直线叫做曲线在点P处的切线”这个定义，比较困难。
在导数的定义中，应抓住增量?x,?y的意义，增量?x可正可负，它只是一个改变量。强调定义式f'(x0)?limf(x0??x)?y?lim的意义和特征。 ?x?0?x?x?0?x
2．对于导数公式和两个函数的和、差、积、商的求导法则，不需要补充介绍其证明，但要熟记公式和法则，关键是能让学生运用它正确地求简单的初等函数的导数，简单的初等函数把握在习题、复习题的形式为宜，避免过于复杂的运算。
3．复合函数的导数，只需要掌握它的法则，在这里一定要控制好习题的难度（一般可控制在幂函数中的复合，和正弦函数、余弦函数构成的复合函数中，复合的次数一般可控制在两次以内）。
4．导数应用部分，重点让学生掌握求简单函数极值和单调区间的方法；根据函数图象，利用直观的方法让学生理解、体会函数的单调性、函数的极值、函数的量值与导数的关系。
5．了解通过介绍微积分建立的时代背景和历史意义。
（二）注意知识的纵横联系，交叉综合。
学习导数的知识，从纵向看，要与前一章的“极限”知识特别是高一所学的函数知识相联系，从横向看，要重视与物理知识和实际知识的联系。
在本章之前，学生已经学过一些函数的知识。高一所学的一次、二次函数、分式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是研究导数的具体函数，简单的初等函数也由它们复合而成，是学习导数的基础。而函数的单调性和最大值、最小值问题前面已有涉及，但使用的是初等方法，能解决的是几类典型的问题，而求导的方法更具有一般意义，让学生加以对比可以对学生导数的必要性有更深的认识
此外，我们所学的导数是用极限方法定义的，因此，本章与前一章“极限”联系也十分密切。微积分从它的产生到发展，与物理有着密不可分的联系。教学中，一方面，借助实际问题的物理背景，可以帮助学生理解导数的有关概念；另一方面，本章所学的导数的应用，不少是物理的实际问题。
（三）重视对知识应用意识的培养
导数非常明显的特征就是和实际问题联系的紧密性和它的应用性。
应用意识的培养一方面可以通过解决大量的实际问题来实现，另一方面也可以通过介绍微积分建煌时代背景和历史意义，使学生明白数学源于生活实际，又应用于生活实际，同时培养学生探索和创新的精神。
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用导数证明不等式最基本的方法就是 将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数 f(x). 对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了!
求导，f(x)\'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，
1-x/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。
利用函数导数单调性证明不等式X-X>0，X∈(0,1)成立
令f(x)=x-x x∈[0,1]
当x∈[0,1/2]时,f\'(x)>0,f(x)单调递增
当x∈[1/2,1]时,f\'(x)<0,f(x)单调递减
故当x∈(0,1)f(x)=x-x>0。
对于m+1个数，其中m个(2+m)，1个1,它们的算术平均数大于几何平均数，即
[(2+m)+(2+m)+...+(2+m)+1]/(m+1)>[(2+m)^m]^[1/(1+m)]
即1+m>(2+m)^[m/(1+m)]
即(1+m)^(1/m)>[1+(m+1)]^[1/(1+m)]
由此说明数列{(1+m)^(1/m)}是单调递减的。
f\'(x)=(1+x)^(1/x)*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。
求证(1+A)的-(1/2)次方 加(1+B)的-(1/2)次方 加(1+C)的-(1/2)次方 >=(1+K)的-(1/2)次方
化成函数，f(x)，求导，可知其单调区间，然后求最大最小值即可。
理论上所有题目都可以用导数做，但有些技巧要求很高。
(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+C)^-1/2
=(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+K^3/AB)^-1/2=f(A,B)
对A求导，f'(A,B)A=0，可得一个方程，解出即得。
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小弟今年5岁，刚上学前班。星期天，他闹着让我给他出题做算术。
我出好了，他做第一题。见他右手伸出三个手指头，左手伸出五个手指头，一数：“5+3=8”得数很快就算出来了。第二道题是“8+7”这道题，只见他坐在床上，脱掉袜子，用手和脚加起来数。
第三道题是“12+9”，他皱着眉头说：“数真大呀！”于是找到了自己的红手套和妈妈的黄手套，伸出双手，还不够
小弟自言自语地说:“算术真难呀！”
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请问去苍凉街的路怎么走……
我忘记了所有只为留住青春，可它依未停下脚步，一直前行。我为了留住青春，我付出了一切，我曾经流泪过，痛恨过……恨它依未停下过，后来，我才发现青春是留不住的。
青春虽有百般不如意，但人们也很喜欢清春。就像玫瑰一样，玫瑰虽美，但它的刺可以扎破我们稚嫩的手。
为此，我哭过，伤心过。青春的叛逆，让我又重新认识了自己。因为清春，让我拥有了叛逆，因为叛逆，让我拥有了你外向的性格和暴躁无偿的脾气，青春的叛逆，让我叫嚣着对任何事物的不满。我想离开父母的呵护，离开家人的陪伴，让自己更亲近世界，可以飞翔，累的是我的心，痛的是我幼稚的翅膀。
青春属于我们，青春在我们手中牢牢在握。拥有青春，就拥有了一份叛逆和风流，拥有了青春就拥有了一份逆向的心和一千种埋怨。
清春的航行，没有不受伤的心灵。青春的文字，已无法表达。青春的少年，正在叛逆，正在风流。也许，这也已经是最后一次了。
青春使人变得傻呆呆，变得成熟，变得让我们用幼稚的眼神去看待一切事物，觉得他们都很可笑。
青春带给我们无限快乐，青春勇气无限大……
青春易逝，一天一天离我们而去，离我们越来越远……
青春时光易逝，我为青春喝彩！青春让我们知道了什么叫叛逆，什么叫风流，什么叫……
青春就像流星划过星空，我们燃烧青春。回首，青春无悔！为青春喝彩！
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【课题】导数与函数的单调性
【教材】北京师范大学出版社《数学》选修1-1
【教材分析】
“导数与函数的单调性”是北师大版普通高中课程标准实验教科书数学选修1－1第四章《导数应用》第一节的内容。本节的教学内容是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。
函数的单调性是函数极为重要的性质。在高一学生利用函数单调性的定义、函数的图像来判断函数的单调性，通过本节课学习，利用导数来判断函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。同时，为下一节学习利用导数研究函数的极值、最值有重要的帮助。因此，学习本节内容具有承上启下的作用。
【学生学情分析】
由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分体现了导数解决问题的优越性。虽然函数单调性的概念在高一学过，但现在可能已忘记；因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是学生刚学习的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。
【教学目标】
1.知识与能力：
会利用导数解决函数的单调性及单调区间。
2.过程与方法：
通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3.情感态度与价值观：
通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点和难点】
对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
【教学设计思路】
现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。
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整个教学过程突出了三个注重：
1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。
2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。
3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。
根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：
一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；
二是掌握判断函数单调性的方法；
三是能由导数信息绘制函数大致图像。
【教法预设】
1．教学方法的.选择：
为在课堂上，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用启发式、讲练结合的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
2．教学手段的利用：
本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
【学法预设】
为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：
1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；
2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动；
3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
【课时安排】 1 课时
【教学准备】
多媒体（画出函数① ② ③ 在同一个坐标系下的图像）；并写出以下四个函数：① ，
② ，③ ，
④
【教学过程】
一、新课引入：
1.函数增减性的定义是什么？
2.导数的定义是什么？
学生活动：思考以前学习过的数学知识，说出两个问题的概念的要点来。
设计意图：引导学生理解函数的单调性概念及导数的概念
板书课题：导数与函数的单调性
二、新课教学：
1.探究函数的导数与函数的单调性的关系
显示多媒体（出示3个函数的解析式及图像）引导学生观察并回答以下问题：
①这3个函数图像都是直线，其斜率分别是多少？其值有何特点？单调性如何？
②分别求出这3 个函数的导数？并观察其导数值有何特点？
板书：
①函数 ，其直线斜率K=1，其导数值 0
②函数 ，其斜率K=2，其导数值
③函数 ，其斜率K=-3，其导数值
学生思考并归纳总结
①每一条直线的斜率值等于该函数的导数值。
②函数的导数值大于零时，其函数为单调递增；函数的导数值小于零时，其函数为单调递减。
显示多媒体（出示4个函数的解析式）：引导学生完成以下问题：
①在不同坐标系下分别做出这4个函数的图像？
②分别求出这4个函数的导数？
设计意图：让各小组学生观察导数的符号与函数图像有何联系并交流、讨论总结。
学生活动：学生思考并举手，教师指定一个学生上台作图。再指定一个学生上台求出函数的导数。
a 作图（略）
b 4个函数的导数是：
① ② ③ ④
引导学生思考并提出以下问题：
①每一个函数在某一点的切线斜率值是否等于该函数在该点处的导数值？
②同一个函数在每一点处的切线的斜率值有何特点？它与该函数的单调性有何联系呢？
③同一个函数的单调性与该函数的导数值有何联系呢？
设计意图：从具体的函数出发，让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，让学生在老师的引导下自主学习和探索总结出曲线的切线的斜率与导数的关系及曲线函数的导数与曲线的单调性之间的关系。让学生经历观察、分析、归纳、发现曲线的单调性也与函数的导数符号有关。
板书：
抽象概括：一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内
⑴如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；
⑵如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。
注意：
①正确理解 “ 某个区间 ”的含义，它必是定义域内的某个子区间。
②如果在某个区间内恒有f′(x)＝0 ,则 f(x) 为常数函数。
2.例题讲解：
例1：求函数 的单调递增区间与递减区间。
分析：
根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关。因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间。
解：引导学生回答问题并同时板书。
①函数 的定义域是什么？其导数如何求？
函数的定义域是 ，其导数值是：
②若 时， 的范围是什么？若 时， 的范围又是什么？
当 或 时， ，因此，在这两个区间上，函数是增加的；
当 时， ，因此，在这个区间上，函数是减少的。
所以，函数 的递增区间为 和 ；
递减区间为 。
③讨论函数单调性的一般步骤是什么？
板书：
a 求函数 的导数。
b 讨论单调区间，解不等式 ，解集为增区间；解不等式 ，解集为减区间。
c 得出结论。
设计意图：通过实例让学生掌握利用函数的导数符号来判定函数单调性的方法及过程；进一步让学生体会利用导数工具解决函数的单调性问题以及它的简便性。
3.课堂练习：
教材第83页练习题1、 2
4.课堂小结：
本节课从几个函数的图像与其在区间内的导数值之间的关系，归纳总结函数单调性与导数的关系，根据它们之间的关系通过例题讲解让学生明确了利用导数求函数单调性的方法，并掌握了求函数单调性的一般步骤。
⬘ 导数乘法的算术思想总结 ⬘
1、求函数在(a，b)内的极值；
2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
3、将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
特别提醒：
1、f（x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)=x3在(-，+）上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件。
2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件。例如函数y=x3在x=0处有y|x=0=0，但x=0不是极值点。此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点。
3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较。
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