◆ 二次根式的乘法课件 ◆
二次根式小学教案
【主题】认识二次根式
【范文】
一、引入
1. 询问学生他们是否了解平方根的概念，并简单解释平方根的含义和运算法则。
2. 引入二次根式的概念，告诉学生二次根式是平方根的扩展，其值是一个数和自己相乘等于给定的数。
二、学习重点
1. 将二次根式化为最简形式；
2. 进行二次根式之间的运算。
三、学习内容
1. 二次根式的概念；
2. 二次根式的化简；
3. 二次根式的运算。
四、学习过程
1. 概念解释：告诉学生二次根式的定义，并与平方根进行对比，使学生更好地理解。
2. 二次根式的化简：教师给出一些例子，让学生通过观察和计算，学习如何化简二次根式为最简形式。
示例：
a) √16 = 4；
b) √25 = 5；
c) √(4×9) = 2√9 = 2×3 = 6；
d) √(16÷4) = √4 = 2。
3. 二次根式的运算：介绍二次根式之间的加减和乘除运算规则，并给出一些示例，引导学生进行运算。
示例：
a) √9 + √16 = 3 + 4 = 7；
b) √16 - √9 = 4 - 3 = 1；
c) √4×√9 = 2×3 = 6；
d) √16÷√4 = 4÷2 = 2。
五、巩固练习
1. 完成课本上关于化简二次根式和运算的练习题；
2. 制作活动卡片或游戏，让学生进行二次根式的化简或运算，增加学习的趣味性。
六、拓展应用
提供一些实际问题，让学生应用二次根式解决问题。
示例：
甲、一块方形花坛的面积是16平方米，求边长。
答：设边长为x，根据面积的定义得到x²=16，解得x=√16=4，所以边长为4米。
乙、一个正方形草坪的面积是36平方米，求对角线的长度。
答：设对角线的长度为x，根据面积的定义得到x²=36，解得x=√36=6，所以对角线的长度为6米。
七、总结回顾
复习学习过程中的重点和难点，并提醒学生需要通过反复练习巩固所学知识。
【结束语】通过本节课的学习，相信同学们对二次根式的概念、化简和运算都有了更深入的理解。希望大家能够在课后反复练习和运用，巩固所学知识，为今后的数学学习打下坚实的基础。
◆ 二次根式的乘法课件 ◆
一、内容和内容解析
1.内容
二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。
2.内容解析
二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式.
二、目标和目标解析
1.教学目标
(1)利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质;
(2)会进行简单的二次根式的除法运算;
(3) 理解最简二次根式的概念.
2.目标解析
(1)学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则;
(2)学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算.
(3)通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式.
三、教学问题诊断分析
本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行.二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算.教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向.
本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.
四、教学过程设计
1.复习提问，探究规律
问题1二次根式的乘法法则是什么内容?化简二次根式的一般步骤怎样?
师生活动学生回答。
【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则.
五、目标检测设计
◆ 二次根式的乘法课件 ◆
学习"二次根式"，首先，要把握好本章的学习重点，处理好二次根式的概念、性质、运算的关系；其次，要科学地安排习题的内容，提高习题的效益，以更好地培养运算能力。
一、处理好概念、性质、运算的关系本章的基本内容是二次根式的概念、性质和运算，其中重点是二次根式的化简与运算，二次根式的概念是化简与运算的基础，二次根式的性质是化简与运算的依据。二次根式的运算是本章的重点，相应的教学要求是能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除运算，能熟练地将分母中含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化。二次根式的性质是运算的依据，相应的教学要求是掌握二次根式的有关性质及运算法则。二次根式的概念是运算的基础，相应的教学要求是了解二次根式及有关概念。在实际学习中，如何对教学成果进行评估呢？关键看学生运算的熟练程度，其中，又以二次根式的混合运算为重。至于对二次根式性质的掌握，对二次根式概念的.了解，都可以通过对运算的掌握加以判断和检测。
二、提高技能训练的效益首先，要明确训练的目的。对于二次根式这一章，训练的目的主要是培养进行二次根式运算的基本技能，了解与运算有关的基础知识，从而发展能力。其次，对训练内容的选取要科学，深度、广度要适当。从本章的训练目的出发，在训练内容的选择上，一是以常用运算为主，不必专门在概念、性质上下大功夫；二是以基本技能为主，而不追求繁难式子化简、运算的特殊技巧。
第三，要改进训练方法。在实施二次根式运算的训练时，要从有理数、有理式运算与二次根式运算的区别?联系上入手，抓住问题的症结，培养独立学习、思考和解决问题的能力。总之，弄清训练目的，选准训练内容，搞活训练方法，才能提高学习质量与效益。
除了上面谈到的问题，在进行二次根式的学习时，还应该注意与几何课的联系。
◆ 二次根式的乘法课件 ◆
本节课开始时，首先由一个求修建两块运动场的草坪面积的实际问题出发，引导学生得出两个二次根式求和的运算。从而提出问题：如何进行二次根式的加减运算？这样通过问题指向本课研究的重点，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望。然后指导学生根据问题导读单，去自学课本。通过自学课本再完成问题导读单，从而自己独立学习结合小组合作学习掌握二次根式的加减运算。
通过我深入小组搜集信息、指导学习，发现学生具备自学能力，独立自学时很肃静，同学们都能够通过翻阅课本自己独立完成一些问题。合作学习时也很热闹，同学们都能够交流自己的见解，并且能够针对一些见解提出自己的看法让大家评议。其中在三组中陶正培同学对同组其他学生说：3√x和5√y不能合并了。有的同学问他为什么？他说就好像3x和5y一样不是同类项就不能合并。由此可见学生能够利用类比学习法进行本节课的学习。通过深入各组巡视指导可知问题导读单的设计是合乎学生的认知能力的。课堂上最精彩的还数同学们的学习汇报。一位同学汇报时说：被开方数相同的二次根式是同类二次根式。马上有同学站起来说：不对，应该是化简后被开方数相同的二次根式才是同类二次根式。通过同学们的汇报，可见同学们在自学时是全身心的投入，充分的研究、讨论、交流才有如此准确的回答。
总之，本节课我感觉同学们学习的效果非常好，学习气氛浓厚，能够自主合作探究学习。
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一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题:
1．计算
（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy
二、探索新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例1．计算:
（1）（+）×（2）（4-3）÷2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
解：（1）（+）×=×+×=+=3+2解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2=2-例2．计算
（1）（+6）（3-）（2）（+）（-）
分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
解：（1）（+6）（3-）
=3-（）2+18-6=13-3（2）（+）（-）=（）2-（）2
=10-7=3
三、巩固练习
课本P20练习1、2．
四、应用拓展
例3．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简+，并求值．
分析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可?
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一、教材分析
《二次根式》是苏教版八年级下册第十二章第一节的内容。二次根式是在已学内容平方根、立方根、实数的基础上，进一步研究二次根式的概念和性质，同时也是以后将要学习锐角三角函数、一元二次方程和二次函数等内容的重要基础。因此本节课的内容在初中数学学习中起着承上启下的作用。
二、学情分析
一切为了学生，为学生设计教学，所以要理解学生，切实做好学情分析。本节课学生已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，掌握了平方根、立方根，认识了实数，这些都为本课时学习二次根式提供了知识基础。当然，毕竟作为一种新的运算，学生有一个熟悉的'过程，应控制上课速度和题目的复杂度。
三、教学目标
根据新课程标准、教材特点、学生实际，我确定了如下教学目标：
【知识与技能】
能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，会求二次根式中被开方数字母的取值范围。
【过程与方法】
通过观察、讨论等方法，从例子中归纳出一般适用的方法。
【情感态度与价值观】
通过探索规律，培养学习的主动性，敢于探索，积极与他人交流，增强学习数学的兴趣和信心。
四、教学重难点
本着新课程标准，在吃透教材的基础上，我确定了以下的教学重点和难点
重点：二次根式有意义的条件以及二次根式的性质。
难点：引导学生归纳出二次根式的性质。
五、教学方法
为了突破重点，解决难点，顺利达成教学目标，我结合教材特点和八年级学生思维活跃，求知欲强，乐于表达，乐于交流的学习特点，本堂课中主要采用以下几种方法：讲授法、讨论法、练习法。
六、教学过程
新课标指出，教师应发扬民主教学，成为学生数学学习活动的组织者、引导者、合作者。据此本节课我会采用以下环节组织教学。
（一）导入新课
在导入环节我会请同学们尝试用带有根号的式子表示下列问题中的数量：
（1）边长为1的正方形的对角线的长；
（2）面积为S的圆的半径；
（3）直角边长分别为a、b的直角三角形斜边的长；
（4）一个物体下落h（m）所需的时间t（s）满足关系式h= g，试用h表示t。
设计意图：通过创设情境，把数学问题与学生的现实生活联系起来，激发学生的学习兴趣，让学生从不同的式子中探寻规律，由特殊到一般引入二次根式的概念。
（二）新课教学
七、板书设计
最后，我来说说我的板书，我的板书比较注重直观。这就是我的板书。
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标题：探索二次根式的魅力——小学二次根式教学案
一、课题介绍
二次根式作为小学数学的一部分，是我们日常生活中经常遇到的数学概念之一。本节课将以“探索二次根式的魅力”为主题，通过相应的例题和活动，引导学生了解和运用二次根式的意义和特点。
二、教学目标
1.通过参与游戏和实际操作，培养学生的探究精神和解决问题的能力；
2.了解并掌握二次根式的定义和基本性质；
3.能够根据具体问题运用二次根式来求解。
三、教学内容
1.二次根式的定义和基本性质介绍；
2.讲解如何将二次根式化简；
3.通过生活实例讨论二次根式的运用。
四、教学步骤
第一步：导入新课
1.教师出示一道问题：“小明家的花园长方形，其中一条边长6米，另一条边长4米。小明妈妈想在这个花园里栽花，她决定在花坛周围种一圈花，花坛的宽度是1米，她需要多少米的围墙？”引导学生思考，然后讨论解决方法。
2.分组让学生充分探讨，并记录自己的想法和答案。
第二步：二次根式的定义和基本性质介绍
1.教师利用幻灯片呈现二次根式的定义和基本性质。分析其中的要点和关键词，并帮助学生理解。
2.展示一道化简二次根式的例题，引导学生按步骤进行操作，解答过程可以记录在黑板上。
第三步：化简二次根式
1.设计一道填空题，要求学生化简二次根式，如√12=____。
2.学生进行个人思考后，归纳出规律，并进行讨论，明确化简二次根式的方法。
第四步：生活实例中二次根式的运用
1.教师提供几个生活实例，例如：有一个正方形花坛，边长为8米，需要在四周砌砖，砖的边长为1米，问需要多少个砖？
2.学生在小组中进行讨论，然后进行解答。
3.学生分享解题思路和结果，并向全班汇报。
第五步：巩固练习
1.教师设计一些练习题，由学生独立或小组完成，提高学生对二次根式掌握的能力。
2.教师布置作业，要求学生巩固练习，并对不会的问题可请教家长或老师。
五、教学反思
本节课的教学目标在于让学生了解二次根式的定义和基本性质，以及如何应用二次根式解决实际问题。通过游戏、实例和练习等多种方式，激发学生的学习兴趣和思考能力。引导学生在实践中理解和掌握二次根式的运算，培养他们的解决问题的能力。通过今天的教学，学生对二次根式有了初步的认识和了解，对二次根式的运用也有了初步的应用能力。为后续学习打下了坚实的基础。
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本节课先复习合并同类项、整式的加减，为学习二次根式的加减做好准备。通过具体的实际问题，引出二次根式的加减问题，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望。
在解决实际问题时，根据所得到的式子，需要先对二次根式进行化简，化简为最简二次根式后仿照合并同类项的方式，合并同类二次根式。然后借助例1和例2详细讲解。再与学生共同总结出“二次根式的加减”的具体步骤和注意问题：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。再通过两个练习让学生对所强调内容进行巩固。拓展提高题目是为了了解学生对本部分内容的灵活运用能力。
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教学背景：
本课是因教研室来校听课指导的情况下设计的，由于课时紧，第二天要进行月考，故必须安排一节课进行《二次根式》的复习。设计学习卷一份，既要考虑堂上复习需要，又要考虑课后练习布置，故安排的题量较充足。同时配合使用PPT课件进行知识框架的复习，以及将学习卷内容在课件上演示，方便讲评。
教学实施情况：
复习本章知识框架，做PPT课件上6道判断题用时10分钟。做课前小测及讲评用时约8分钟，做典型题组及讲评用时约22分钟（主要针对中下生）。所有练习均为学生先做后学（难题、易错题老师讲评）。多数同学能在堂上完成到题组训练部分。
改进措施：
总的来说本课能完成既定的目标，但细节上个别题目的安排可能要作修改，如小测题第3小题“不改变根式的大小把根式外的因式移到根号内”难度跨度大，在此处可暂时不做此类题，改为做分母有理化的题，如等化简是学生的难点，要重点解决，保证基本题过关。这样也使到在做问题2（2）小题时可顺利一些。另外在复习知识框架时穿插问题1的练习，可避免概念复习的抽象化，也节约了时间。对问题1的第（3）题在重点班可去掉“最简二次根式”的条件，要求会写出求a值的过程，且不限一个解答。（本题的变式题在第二天的月考中就出现了）。另题组训练中三个层次：最基本题组、基本题组、变式题组的难度相应为A组、B组、C组，可在卷上注明，或老师堂上说明，学生可按自己水平选做相应的题组，重点班要求全做。
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教学准备
1.教学目标
（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．
（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围． 2.教学重点/难点
理解二次根式的双重非负性.
3.教学用具
4.标签
教学过程
1．创设情境，提出问题
问题1你能用带有根号的的式子填空吗？
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____．
师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.
【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．
问题2 上面得到的式子
分别表示什么意义？它们有什么共同特征？
师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．
2．抽象概括，形成概念
问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？
师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如
【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．
追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？
师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．
【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解． 3．辨析概念，应用巩固
问题4你能比较与0的大小吗？
4．综合运用，巩固提高
练习1 完成教科书第3页的练习.
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义
课堂小结
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？
（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？
课后习题
◆ 二次根式的乘法课件 ◆
一、教学目标1. 能够理解二次根式的定义及基本概念；
2. 能够运用二次根式求解简单问题；
3. 能够灵活运用二次根式与数的四则运算相结合；
4. 能够认识到二次根式在生活中的应用。
二、教学重点和难点
1. 二次根式的概念和基本性质；
2. 将二次根式与数的四则运算相结合；
3. 运用二次根式求解实际问题。
三、教学内容
1. 二次根式的定义和基本概念
1.1 二次根式的定义：在实数集上，如果 a、b 均为非负实数，且 b ≠ 0，那么形如 √a（称为根号 a，其中 a 称为被开方数，下同）的表达式就叫做二次根式，其中 a 称为二次根式的被开方数，b 称为二次根式的根指数。
1.2 二次根式的运算法则：（1）同根号相加或相减时，被开方数要相同；（2）同根号乘法，相当于将两个根号中的被开方数相乘；（3）同根号除法，相当于将两个根号中的被开方数相除。
1.3 二次根式的化简：（1）把一个数分解成两个平方数之积，即把被开方数写成两个数乘积的形式；（2）合并同类项。
2. 二次根式运算
2.1 二次根式加减法：将同底数的二次根式合并；
2.2 二次根式乘法：合并同底数的根式并相乘；
2.3 二次根式除法：除以一个二次根式，等于将分子和分母的被开方数分别相除。
3. 实际问题的二次根式运用
3.1 运用二次根式求解图形面积：如用 √2 表示正方形对角线长；
3.2 运用二次根式求解机器零件长度；
3.3 运用二次根式求解物体的体积。
四、教学方法
1. 探究法：通过问题启发学生，发现规律，引导学生探究二次根式定义、公式和规律等；
2. 讲解法：介绍二次根式的概念、基本性质及其计算方法等，通过具体例子和练习的演示，使学生能够理解和掌握；
3. 实践法：由浅入深地多次练习，在实践中掌握二次根式的运用方法，提高解题能力。
五、教学过程
1. 引入环节
1.1 导入：让同学思考下边问题。
Q：如果一个长方形的长是 3，宽是 4，求其对角线的长等于多少？
1.2 激发兴趣：提示同窗用与题目有关的内容，“开方”来计算。
1.3 引出话题：发现这样的问题可以运用二次根式来计算，从而引出本节课要学习的主题。
2. 讲解二次根式的概念及基本性质
2.1 讲解：
（1）引入二次根式的定义：根号 a，其中 a 称为二次根式的被开方数，1 称为二次根式的根指数；
（2）引出二次根式的基本性质：相同指数的根式可以合并、开方的结果除掉因数后仍为二次根式、二次根式可以与整数相加、相减、相乘等；
（3）介绍二次根式的化简方法。
2.2 例题讲解：完成下列二次根式的化简。
A (6√5 + 4√5) B (4√2 - 3√2) C (9√3 - 12√3） D （5a√2 + 3b√2）。
3. 讲解二次根式的运算方法和应用
3.1 学生学习二次根式的加、减、乘和除法等运算方法及应用，并通过具体的例子，深入了解实际问题中如何使用二次根式来计算面积、体积等问题。
3.2 通过让学生自己思考，采用探究法，让学生通过解决问题来学习。
4. 课堂练习环节
4.1 图形面积的计算
例子：如果正方形的一条边长是 2√2，那么它的面积等于多少？
4.2 机器零件长度的计算
例子：一种长方形零件的长是 6cm，宽是 4√3cm，求其周长和面积。
4.3 物体体积的计算
例子：一个长方体的长、宽、高分别为 3，5，√2 cm，求其体积。
5. 考试练习环节
5.1 阶段小测（15分钟）：教师出题检查学生学习效果；
5.2 省选真题（40分钟）：提前安排好的考试题，让学生独立完成。
六、教学评价
1. 学生学习笔记和练习册（15%）；
2. 作业和小考成绩（25%）；
3. 期中和期末测试成绩（60%）。
七、教学反思
二次根式概念和基本性质可以通过讲解法来完成，而让学生掌握二次根式的运用方法和应用，需要教师注意方法的差异性，兼顾课堂练习和考试练习。通过实践，让学生深入了解二次根式的应用，提高二次根式与数的四则运算的能力和熟练程度。同时，在教学过程中更需要关注学生的思维和操作方式，力求让学生在学习过程中掌握好各个知识点，进而提高其解题能力和应用能力。
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《二次根式乘法》教案
一、教学目标
【知识与技能】掌握二次根式的乘法运算法则，能利用法则进行正确的运算。
【过程与方法】通过计算、观察、猜想的过程得到二次根式的乘法运算法则，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简。
【情感态度与价值观】通过二次根式乘法法则的探究过程，增强学数学、用数学的兴趣，创设探究式与合作交流的学习气氛。
二、教学重难点
【重点】会进行简单的二次根式的乘法运算。
【难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用。
三、教学过程
(一)导入新课
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?
学生活动：计算、观察，分小组讨论。全班交流，体会结果的特点。
(指几名学生回答，其余学生补充)
(二)自主探索
(三)巩固应用，深化提升
(四)小结作业
本节课你学到了什么知识?你又什么认识?
四、板书设计
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第十六章 二次根式
代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,”;②单个的数字或单个的字母也是代数式
5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数的最小值为5.)
6.(1)(x+)(x-) (2)n(n+)2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)
7.解:(1) . (2)宽:3 ;长:5 .
8.解:(1) =. (2)(3)2=32×()2=18. (3)=(-2)2×=. (4)-=-=-3π. (5) = =.
9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8
10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.
解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-
本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.
在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.
在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.
练习(教材第4页)
1.解:(1)()2=3. (2)(3)2=32×()2=9×2=18.
2.解:(1)=0.3. (2) =. (3)-=-π. (4)=10-1=.
习题16.1(教材第5页)
1.解:(1)欲使有意义,则必有a+2≥0,∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义. (2)欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义. (3)欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a≥0时,有意义. (4)欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义.
2.解:(1)()2=5. (2)(-)2=()2=0.2. (3)=. (4)(5)2=52×()2=25×5=125. (5)==10. (6)=72×=49×=14. (7) =. (8)- =- =-.
3.解:(1)设圆的半径为R,由圆的面积公式得S=πR2,所以R2=,所以R=± .因为圆的半径不能是负数,所以R=-不符合题意,舍去,故R= ,即面积为S的圆的半径为 . (2)设较短的边长为2x,则它的邻边长为3x.由长方形的面积公式得2x3x=S,所以x=±,因为x=-不符合题意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即这个长方形的相邻两边的长分别为和.
4.解:(1)32. (2)()2. (3)()2. (4)0.52. (5). (6)02.
5.解:由题意可知πr2=π22+π32,∴r2=13,∴r=±.∵r=-不符合题意,舍去,∴r=,即r的值是.
6.解:设AB=x,则AB边上的高为4x,由题意,得x4x=12,则x2=6,∴x=±.∵x=-不符合题意,舍去,∴x=.故AB的长为.
7.解:(1)∵x2+1>0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (2)∵(x-1)2≥0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (3)∵即x>0,∴当x>0时, 在实数范围内有意义. (4)∵即x>-1,∴当x>-1时,在实数范围内有意义.
8.解:设h=t2, 则由题意,得20=×22,解得=5,∴h=5t2,∴t= (负值已舍去).当h=10时,t= =,当h=25时,t= =.故当h=10和h=25时,小球落地所用的时间分别为 s和 s.
9.解:(1)由题意知18-n≥0且为整数,则n≤18,n为自然数且为整数,∴符合条件的n的所有可能的值为2,9,14,17,18. (2)∵24n≥0且是整数,n为正整数,∴符合条件的n的`最小值是6.
10.解:V=πr2×10,r= (负值已舍去),当V=5π时, r= =,当V=10π时,r= =1,当V=20π时,r= =.
如图所示,根据实数a,b在数轴上的位置,化简:+.
〔解析〕 根据数轴可得出a+b与a-b的正负情况,从而可将二次根式化简.
解:由数轴可得:a+b0,
∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.
[解题策略] 结合数轴得出字母的取值范围,再化简二次根式,此题体现了数形结合的思想.
已知a,b,c为三角形的三条边,则+= .
〔解析〕 根据三角形三边的关系,先判断a+b-c与b-a-c的符号,再去根号、绝对值符号并化简.因为a,b,c为三角形的三条边,所以a+b-c>0,b-a-c
[解题策略] 此类化简问题要特别注意符号问题.
化简:.
〔解析〕 题中并没有明确字母x的取值范围,需要分x≥3和x
解:当x≥3时,=|x-3|=x-3;
当x
[解题策略] 化简时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义分情况进行讨论.
5
O
M
◆ 二次根式的乘法课件 ◆
一、教学目标
1．理解分母有理化与除法的关系．
2．掌握二次根式的分母有理化．
3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．
4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1．教学重点：分母有理化．
2．教学难点：分母有理化的技巧．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主
七、教学过程
【复习提问】
二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．
例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：
（1） （先乘除，后加减）．
（2） （有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．
（3）辨别有理化因式：
有理化因式： 与 ， 与 ， 与 …
不是有理化因式： 与 ， 与 …
化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．
例如：等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？
引入新课题．
【引入新课】
化简式子 ，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以 的有理化因式，而这个式子就是 ，从而可将式子化简．
例2 把下列各式的分母有理化：
（1） ； （2） ； （3）
解：略．
注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．
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