立体几何教案（集锦二十篇）

时间:2025-02-14 作者:好拿网

▲ 立体几何教案 ▼

1.下列正方体或正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()

A 正解：D

错因：空间感不强.2.如果a,b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过P一定可作直线L与a,b都相交；（2）过P一定可作直线L与a,b都垂直；（3）过P一定可作平面（4）过P一定可作直线L与a,b都平行，其中正确的结论有（）与a,b都平行；

A、0个B、1个C、2个D、3个正解：B.(2)正确

错解：C 认为（1）（3）对D 认为（1）（2）（3）对

错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b 都垂直相交；而认为（1）（3）对的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密.正解：C

错因：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜.3.判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，则此直线

垂直于另一个平面.（）正解：本题不对.错因：未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况.4.和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（）.A．和都垂直于平面g

B．内不共线的三点到的距离相等 C．l,m是平面内的直线且l//,m//

D．l,m是两条异面直线且l//,m//,m//,l// 正解：D

对于A,,可平行也可相交；对于B，三个点可在平面同侧或异侧；对于C,l,m在平面 内可平行，可相交.对于D正确证明如下：过直线l,m分别作平面与平面,相交，设交线分别为l1,m1与 l2,m2，由已知l//,l//得l//l1,l//l2，从而l1//l2，则l1//，同理m1//，S

Q RS B

Q PC

R P DQ

//。

错解：B往往只考虑距离相等，不考虑两侧.5． △ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将△ABC沿AD折成大小为q的二

面角B-AD-C，若cos

ab，则三棱锥A-BCD的侧面三角形ABC是（）

A、锐角三角形B、钝角三角形

C、直角三角形D、形状与a,b的值有关的三角形

6.底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是（）

A、一定是正三棱锥C、不是斜三棱锥正解： D

错因：此是正三棱锥的性质，但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，事实上，只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选D

7.有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为__________.正解：2a2.错解：学生认为球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为a，球的表面积为a2.这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为.B、一定是正四面体D、可能是斜三棱锥

8.过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个.正解： 1个或无数个.错解：1个.错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个.9.自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则

PAPB

PC=_____。

正解:4R2,可将PA,PB,PC看成是球内接长方体的三边,则PAPBPC应是长方体对角线的平方,即球直径的平方.10．一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直二面角，则两直角边所

夹角的余弦值为_____.正解：

.设AB==

BD=

AD=-=

CDAB,BDCD,ADCD ADB为二面角B-CD-A的平面角，ADB



AB(5)（85

5)

2032025



2855

24（cosACB

5224

85)



错因：折叠后仍然BDCD,ADCD判断不了，找不到RtADB,AB的长求不出.错因：没有考虑到球内接长方体，直接运算，易造成计算错误.11.直二面角α－l－β的棱l上有一点A，在平面a,b内各有一条射线AB，AC与l成45，AB,AC，则∠BAC=.正解：600或1200

错因：画图时只考虑一种情况

12.如图在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知底面ABC是底角等于30，底边AC=43 的等

腰三角形，且B'CAC,B'C22，面B'AC与面ABC成45，A'B与AB'交于点E.⑴求证：ACBA'；(2)求三棱锥B'BEC的体积.正解：(1)证：取AC中点D，连ED，E是AB'的中点，ED12B'C

B'CAC,DEAC



又ABC是底角等于30的等腰，BDAC,BNDED

AC面BDE,ACBE,即ACBA'

(3)解：由(1)知

EDB是二面角B'ACB的一个平面角，EDB＝45，ED



2,BDADtan30



23

2

在DBE中：

ED

BD

2EDBDcos452422



2

11

VB'-BEC=VA-BEC=2VA-BED=2245=

32错因：求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后错解。

13．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为29，设这条最短路线与C1C的交点为N.求: ⑴该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

⑵PC和NC的长；

正解：①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92

4

97

②如图1，将侧面BC1旋转120使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线.设PC＝x，则P1C＝x，在RtMAP1中，（3＋x)22229,x2 MCMA

P1C2P

5,NC

错因：①不会找29 的线段在哪里.②不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解.

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导语：幼儿园立体几何教学在幼儿教育中占有重要地位，通过立体几何教学，可以培养幼儿的观察力、思维能力和创造力等。然而，目前幼儿园立体几何教学仍存在一些问题，需要认真反思和改进。本文将从幼儿园立体几何教学的现状、存在的问题以及改进策略三个方面展开分析，并提供一些建议。

一、幼儿园立体几何教学的现状

目前，许多幼儿园立体几何教学存在以下几个现状：

1. 教学内容单一：幼儿园立体几何教学大多限于简单的几何图形认知，缺少对立体几何的深入学习和探索。

2. 教学方法单一：教师主导式的教学方法过多，缺少幼儿的参与和互动。教师通过口头讲解和图示展示的方式进行教学，忽视了幼儿的多元感知和实际操作的需求。

3. 教学环境贫乏：幼儿园立体几何教学的环境设计和器材设置都比较简单，缺乏足够的启发性和趣味性，对幼儿的学习积极性和兴趣产生了消极影响。

二、幼儿园立体几何教学存在的问题

在幼儿园立体几何教学中，我们发现存在以下问题：

1. 缺乏启发性教学：幼儿园立体几何教学过程中，教师对幼儿的思维潜力和创造力的开发不足，没有给予幼儿足够的启发和引导。

2. 操作环节单一：幼儿园立体几何教学缺乏多样化的操作活动，幼儿只是被动地听取教师的解说，缺乏实际操作的机会。

3. 缺乏个性化教学：幼儿园立体几何教学过程中，教师对幼儿的个体差异了解不够，没有针对不同幼儿的特点和需求进行个性化教学。

三、改进策略和建议

针对以上问题，我们可以采取以下几个方面的改进策略：

1. 注重启发性教学：在幼儿园立体几何教学中，教师需要注重培养幼儿的观察力和思维能力，通过提问、引导等教学方式，激发幼儿的思考和创造力。

2. 多元化的操作活动：幼儿园立体几何教学应该增加多样化的操作活动，让幼儿亲自动手，通过触摸、拼装等方式感受几何形状，加深对几何概念的理解。

3. 个性化教学：教师应注重了解每个幼儿的特点和需求，根据幼儿的不同发展水平和兴趣爱好，设计个性化的学习内容和活动。

4. 创造富有启发性的教学环境：幼儿园立体几何教学环境应该创设一个充满趣味和启发性的场所，提供丰富多样、具有挑战性的材料和器具，激发幼儿的学习兴趣和探索欲望。

5. 教师与家长的合作：幼儿园与家长之间需要建立起有效的沟通与合作机制，教师应与家长共同关注幼儿的立体几何学习，并及时了解幼儿在家中对立体几何的学习情况，以便更好地进行教学。

结语：通过对幼儿园立体几何教学的反思，我们可以看到当前立体几何教学存在诸多问题，但也存在改进的空间。在改进策略和建议的指导下，我们相信幼儿园立体几何教学将更加丰富多样，激发幼儿的学习兴趣和思维能力的培养，为幼儿园阶段的儿童提供更好的教育环境。

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【关键词】五年制幼师；数学教育；幼儿园数学教育；衔接；做中学

【案例主题】

幼师二年级上学期的数学教学内容中包含了立体几何的教学，在此教学过程中，需要学生学会求解空间几何体的表面积和体积，为了学生们能在“做中学”，充分了解几何体的侧面展开图，同时也为了学生们能在幼师学习阶段与幼儿园的数学教学内容多做接触，我们开展了立体几何手工制作活动。

【案例描述】

首先，在立体几何的教学过程中，教师通过课堂授课的形式，学生们基本掌握了柱锥台球等一些基本的几何体，接着，教师向学生们介绍了张慧和、张俊所著的《幼儿园教师教育丛书――幼儿园数学教育》一书中的第六章幼儿空间和几何形体概念的教育，学生初步了解幼儿空间和几何形体概念的发展特点与要求，然后教师给出幼儿园数学教育各年龄阶段目标（小班、中班、大班）分发给学生作为参考，同时提出活动要求：全班按照每四人一组划分，结合已经学过的立体几何部分内容，选定一个主题，写出幼儿教学简案，制作与幼儿园数学教学相关的手工作品。

手工制作是学生在课后分组完成的，作品完成后按组为单位收上来。在这些作品中有些很值得关注的闪光点。

例如，有一个小组的作品是参照幼儿玩具制作的，如图所示。

该组撰写的幼儿教学简案如下：

主题：帮助几何体宝宝回家

适合班级：小班

准备工具：一个大房子（表面挖有镂空的图形），正方体若干，长方体若干，圆柱若干，圆锥若干。（将几何体按幼儿人数放在每一组的桌子上）

教学目的：幼儿能够认识简单的平面图形

教学流程：

1.指出大房子上的图像，幼儿找出对应可以穿过此图形的几何体。

2.罗列出几何体的底面或侧面的平面图形，让幼儿能够看出各形状的特点。

3.知道幼儿学习各平面图形的名称（正方形，长方形，圆形，三角形）.

【案例分析】

本次教学实践活动，主要是希望通过同学们的动手制作加深对几何体的表面积和体积的认知，同时也希望幼师学生们能将目前的数学知识和幼儿园的数学教育联系起来，希望学生们能在幼师学习阶段就尝试了解幼儿园的数学教学要求和相关内容，并能试着尝试适应幼儿教师这一职业。

在以往的教学过程中，有些数学基础较弱的同学上数学课总是觉得枯燥烦琐，畏难情绪比较严重，甚至有的同学会出现厌学情绪。同时，目前的幼儿园在职教师，脱离学校时间越久，对于相关的基础数学知识就会遗忘得越多，这些都是不利于幼儿教师的专业发展的。

国内幼儿园的数学课开设很早，教学也很成熟，但幼儿园教师大多针对所教内容进行教学设计，容易忽视其中蕴含的数学原理与数学思维，也就是无法将自己在幼师阶段学习的数学内容融合到教学中去，从而无法站在更高的理论角度进行教学。只有幼儿园教师自己的科学素养提高，才能在理论指导下，在幼儿日常生活和活动区中引入数学活动，在主题探索活动中开展渗透性数学活动。

通过此次教学实践活动的尝试，我逐渐摸索到幼师数学教育与幼儿园数学教育的衔接之处，学生在学习数学理论知识的同时，融入幼儿园的数学教学内容，提高学生的专业素养和意识，从而希望可以改变现今幼师教学中，数学理论知识与幼儿数学教育脱节的现状。

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通过CAI软件设计培养学生创造性思维能力通过CAI软件设计培养学生创造性思维能力实验方案（阿坝州实验小学）

在社会信息化日益加快的今天，各种教学软件也如雨后春笋般涌现出来，有各方面比较优秀的，也有滥竽充数的，有的甚至是根本不利于学生健康发展的。大家知道，教育离不开教学过程；教学过程离不开教学设计；教学设计离不开教学资源的设计与开发；而现代教学资源的设计与开发是在教学软件中得到体现的，CAI（计算机辅助教学）软件的设计与开发更是直接影响教学结果的重要因素之一。因此，CAI软件的设计与开发必须能使学生得到创造性思维能力（即要给学生留出想象空间，“没有想象力就没有发明创造”①。没有创造性思维能力就不可能谈创造。）的培养，以至能全面结合到教育的根本目的，真正为教育教学服务。二、课题的形成及特征

研究并开发出有助于培养学生创造性思维能力的CAI系列软件，并获得教育部们的肯定。

1、首先挑选2~3名具有丰富教学经验且能掌握现代教育技术特别是信息技术的教师作为主研人员开始开展工作。 2、从有关开发制作CAI软件的一些平台（如：Authorware 、3D MAX、Microsoft Powerpoint 、方正奥思、蒙泰瑶光、甚至Microsoft Winword、WPS及Web制作工具Flash 、Microsoft FrontPage等）入手，分析它们各自的交互性能、实时反馈性能、超连接性能、动化性能，平台间支持兼容性能等优劣情况，从而选择有利于本课题研究和开发的制作平台。 3、认真钻研有关人类思维的理论，把握人类的“时间逻辑思维、形象思维和直觉思维三种基本形式”②；明确创新过程都离不开思维的发散。从而避免一般教学软件的求同思维、正向思维和收敛思维的方式（虽然“有效率地”把学生引领到正确的答案上，但大大抑制了学生的发散思维，扼杀了学生创造能力的.培养）。 4、结合教学内容，探索既能让学生感受到形象直观生动活泼具有虚拟现实般的情景，又能激发学生浮想连翩地进行发散思维的CAI软件。 5、主研人员要不断研究，经常总结，带动全体教师开发研制CAI课件。

本课题的实验周期为二年（3月12月）。实验步骤分四个阶段：第一阶段（203月至年7月），确定主研人员，对制作CAI软件的主要平台进行了解、学习和分析；分析探索他人的CAI 教学软件；研究学生的有关创造性思维；开始探索性地自做或指导教师做有利于培养学生创造性思维能力的CAI课件。第二阶段（2002年8月至2002年12月），主研人员继续深入研究有关理论；鉴定评价一些CAI软件中“培养学生创造性思维能力”的含量，并指导教师们选用；深入课堂听课、讲课，获取真实的资料，研讨CAI软件设计，初步制作出一些有特色的课件并在多媒体网络教室进行实践，不断总结；进一步指导教师做有利于学生创造性思维能力培养的CAI课件。第三阶段（203月至年7月），主研人员开始系统地开发设计基于个别化（人――机交互）和网络化（人――人交互）教学的CAI系统软件并在多媒体网络教室进行教学实践；组织教师们进行有关本课题方面的教研；指导教师们在多媒体网络教室应用自己制作的CAI教学软件进行教学。第四阶段（2003年8月至2003年12月），主研人员在深入研讨不断总结的前提下，在全校范围内大力宣传和推行有助于培养学生创造性思维能力的CAI软件开发活动；主研人员的CAI软件作品争取在阿坝州内得到运用，能在Internet推出，并得到教育部门的肯定。

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直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处：

(1)深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。

(2)培养空间想象力。

(3)得出一些解题方面的启示。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。

为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形(如：直线和平面)、简单的几何体(如：正方体)开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面(如：纸、黑板)上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

三、逐渐提高逻辑论证能力

立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法(“推出法”)形式写出。

例如：

1.两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

2.异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

3.面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

4.三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。

立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如：求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。

还要注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。

在平时的学习过程中，对于证明过的一些典型命题，可以把其作为结论记下来。利用这些结论可以很快地求出一些运算起来很繁琐的题目，尤其是在求解选择或填空题时更为方便。对于一些解答题虽然不能直接应用这些结论，但其也会帮助我们打开解题思路，进而求解出答案。

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1、空间一点位于不共线三点、、所确定的平面内的充要条件是存在有序实数组、、、 ,对于空间任一点 ,有且 ( 时常表述为:若且 ,则空间一点位于不共线三点、、所确定的平面内。) 2、若多边形的面积为 ,它在一个平面上的射影面积为 ,若多边形所在的平面与这个平面所成的二面角为 ,则有。(射影面积公式,解答题用此须作简要说明) 3、经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 4、过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条;过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个。 5、经过两条异面直线中的一条,只有一个平面与另一条直线平行。 6、三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 7、对角线相等的平行六面体是长方体。 8、线段垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等。 9、经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,设它和已知角两边的夹角为锐角且相等,则这条斜射线在这个平面内的射影是这个角的平分线。(斜射线上任一点在这个平面上的射影在这个角的平分线上) 10、如果一个角所在平面外一点到这个角两边的距离相等,那么这点在平面上的射影,在这个角的平分线上。(解答题用此须作简要证明) 11、若三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。 (1)当底面三角形为直角三角形时,射影落在斜边中点上。 (2)当底面三角形为锐角三角形时,射影落在底面三角形内。 (3)当底面三角形为钝角三角形时,射影落在底面三角形外。 12、如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等或三棱锥的顶点到底面三条边距离都相等(顶点在底面上的射影在底面三角形内),那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心。 13、如果三棱锥的三条侧棱两两垂直,或有两组对棱垂直,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。 14、若平面、平面、平面两两互相垂直,那么顶点在平面内的射影是三角形的垂心。 15、棱长为的正四面体的对棱互相垂直,对棱间的距离为。(该间距为小棱切球之直径) 16、设正四面体的棱长为 ,高为 ,外接球半径为 ,内切球半径为 ,棱切球(与各条棱都相切的球,正四面体中存在两个这样的球)半径为 ,体积为 ,则: , , , 或 , 17、设正方体的棱长为 ,正方体的内切球、棱切球(与各条棱都相切的球)、外接球的半径分别为、、 ,则 , , 。 18、若二面角的平面角为 ,其两个面的法向量分别为、 ,且夹角为 ,则或 ( )。 19、点到平面的距离: (其中为垂足, 为斜足, 为平面的法向量)。 20、证明两平面平行: (1)若平面、的法向量、共线,则 ; (2)若平面、有相同的法向量 ,则。 21、若直线与平面的法向量共线,则可推出。 22、设为空间直角坐标系内一点,平面的方程为: ,则点到平面的距离为。 23、证明两平面垂直: (1)确定两个平面、的法向量、 ,若 ,则 ; (2)在平面内找出向量 ,若与的法向量共线,则 ; 24、向量与轴垂直竖坐标 (对轴、轴同理)。 25、"等积变换"、"割形"与"补形"是解决立体几何问题常用方法。有关正四面体中的计算有时可造正方体模型,使正方体的面对角线恰好构成正四面体。三条侧棱两两垂直的正三棱锥中的有关计算有时可以补成正方体。题型:四面体abcd中,共顶点a的三条棱两两相互垂直,且其长分别为1、、3,若四面体的四个顶点同在一个球面上,则这个球的表面积为( )。该题型解法:可构造球内接长方体,长方体的体对角线长为球直径。共2页，当前第1页12 补充:三棱锥能够构造长方体的几种基本情形 (1)三条侧棱两两垂直的三棱锥可以构造长方体; (2)三个侧面两两垂直的三棱锥可以构造长方体; (3)三组对棱两两相等的三棱锥可以构造长方体。共2页，当前第2页12

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在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。下面是小编分享的高考数学立体几何学习方法，欢迎大家阅读！

一、逐渐提高逻辑论证能力

论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出。

二、立足课本，夯实基础

（1）深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。

（2）培养空间想象力。

（3）得出一些解题方面的启示。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。

三、“转化”思想的应用

我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：

（1）两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

（2）异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

（3）面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

（4）三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。

四、培养空间想象力

为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的.想象能力和识别能力。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形（如：直线和平面）、简单的几何体（如：正方体）开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如：纸、黑板）上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

五、总结规律，规范训练

六、典型结论的应用

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学好立几并不难，空间观念最关键。

点线面体是一家，共筑立几百花园。

点在线面用属于，线在面内用包含;

四个公理是基础，推证演算巧周旋。

空间之中两直线，平行相交和异面。

线线平行同方向，等角定理进空间;

判断线和面平行，面中找条平行线。

已知线和面平行，过线作面找交线;

要证面和面平行，面中找出两交线;

线面平行若成立，面面平行不用看;

已知面与面平行，线面平行是必然;

若与三面都相交，则得两条平行线。

空间距离和夹角，平行转化在平面;

一找二证三构造，三角形中求答案。

引进向量新工具，计算证明开新篇;

空间建系求坐标，向量运算更简便。

知识创新无止境，学问思辩勇登攀。

判断线和面垂直，线垂面中两交线。

两线垂直同一面，相互平行共伸展;

两面垂直同一线，一面平行另一面。

要让面和面垂直，面过另面一垂线;

面面垂直成直角，线面垂直记心间。

一面四线定射影，找出斜射一垂线;

线线垂直得巧证，三垂定理风采显。

▲ 立体几何教案 ▼

引言：

立体几何是数学中的一个重要分支，它涉及到空间中的形状、位置关系及其性质等方面的研究。在立体几何的教学中，向量方法是一种重要的教学手段，可以帮助学生更加直观地理解和解决立体几何问题。然而，随着教学实践的不断推进，我深感现有的向量方法在教学中存在一些问题，需要进行反思和改进。

第一部分：现有向量方法的优点

在立体几何中，向量方法具有以下几个优点：

1. 直观性：向量可以用箭头形式表示，有大小和方向，可以用于表示位置、运动和力等概念，更加直观；

2. 抽象性：通过向量的操作和性质，可以推广到更一般的情况，有利于培养学生的抽象思维能力；

3. 统一性：向量方法可以统一解决空间中的各种问题，使求解过程更加简洁；

4. 应用性：向量方法在几何、物理和工程等领域有广泛的应用，具有实际意义。

第二部分：现有向量方法的不足

尽管向量方法在立体几何的教学中有诸多优点，但仍然存在以下几个问题：

1. 缺乏直观性：当涉及到复杂的三维图形时，向量的运算和性质可能会让学生感到迷惑，难以理解；

2. 算法过于复杂：一些立体几何问题需要通过向量的运算和分解来求解，这会增加学生的计算负担，容易出错；

3. 缺乏实际应用案例：向量方法在理论推导上容易强调抽象性，缺乏实际应用案例的引导，难以激起学生的兴趣；

4. 学生的数学基础要求较高：向量方法在立体几何中的应用对学生的数学基础要求较高，可能会造成一部分学生的困惑和挫败感。

第三部分：改进向量方法教学

为了克服现有向量方法的不足，我们可以从以下几个方面进行改进：

1. 引入具体例子：在教学中，引入一些具体的立体几何问题，通过案例的具体分析，帮助学生更好地理解向量方法的应用；

2. 图像辅助：在讲解时，使用图像或动画辅助教学，使学生对于向量的表示和运算具有更清晰的直观认识；

3. 简化运算过程：对于复杂的向量运算，可以简化运算过程，减少学生的计算压力，同时注重培养学生的思考和解决问题的方法；

4. 应用实践结合：在教学中，将向量方法与实际应用结合起来，引导学生思考如何将向量方法应用于实际问题解决过程中；

5. 个性化辅导：根据学生的不同情况，进行个性化辅导，帮助学生理解和应用向量方法，促进学生的学习兴趣和积极性。

结论：

立体几何中的向量方法是教学中一种重要的手段，通过向量的直观性、抽象性、统一性和应用性，可以帮助学生更好地理解和解决立体几何问题。然而，现有的向量方法在教学中存在一些问题，需要进行反思和改进。通过引入具体例子、图像辅助、简化运算过程、应用实践结合和个性化辅导等方法，可以提高向量方法在立体几何教学中的效果，促进学生的学习兴趣和能力的提升。通过不断地反思和改进，我们将能够更好地教授立体几何中的向量方法，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

▲ 立体几何教案 ▼

关于高考立体几何复习建议

立体几何是高中数学的重要内容之一。也是高考考查的重要内容，高考对直体几何的考查呈现出比较明显的规律。无论是试题的数量。还是试题的难度，都体现出相对的稳定性。存高考试卷中必有一个立体几何解答题。这个试题一般设有2～3个小问，或证明平行与垂直，或计算角与距离。在突出考查空间想象能力的同时，考查思维能力与运算能力。另外还有1～2个选择题或填空题。这几个小题在考查基础知识的同时，突出考查对图形的理解与想象能力，考查创新意识。从难度来看，立体几何解答题属于中等题，应是大多数同学得分的试题：在选择题、填空题中，近几年考察三视图的题型比较多，对空间想象能力和创新能力要求较高。

一、成绩数据分析

从2012年我校高考成绩数据分析来看，“立体几何”部分占填空1道，大题1道。其中填空题第10题，满分5分，我校得分1.90分，低于同类校0.99分，低于全市校1.07分。解答题第17题，满分13分，我校得分4.68分，低于同类校2.26分，低于全市校2.25分，其中第一问满分4分，我校得分2.71分，低于同类校0.58分，低于全市校0.35分；第二问满分4分，我校得分1.65分，低于同类校1.20分，低于全市校1.03分；第三问满分5分，我校得分0.32分，低于同类校0.48分，低于全市校0.87分。

二、存在问题

在立体几何中，画出空间图形的直观图，对空间图形中位置关系的识别，恰当地变换处理图形，运用空间图形解决问题是学好立体几何的关键，是空间想象能力的核心成分。在高三立体几何复习教学中，我发现学生在画图、识图、用图中存在不少问题。因此，有必要探究个中原因，反思我们的教学。

（1）基本作图能力薄弱

在高三复习中，发现不少学生随手画图，不用直尺；有的学生画出的图形线条不简洁，虚实线不分，缺乏立体感。此外，学生的认知结构中没有储存足够的基本立体几何模型，从而想不到借助基本图形来判断复杂的位置关系。基本作图能力的薄弱影响了学生对图形的观察与分析，制约了识图能力的提高。

（2）数学语言转换能力不强

空间想象能力要求学生能借助图形来反映用文字语言或符号语言所表达的空间图形或位置关系。即从语言或式子中提取关键信息，在头脑中形成空间图形的“表象”，再画出其直观图，就是说先想图，后画图。这里进行了两次转化，一是文字语言或符号语言转化为图形语言，二是空间向平面的转化，而大部分学生就是在转化的过程中出现问题。

（3）识图、用图的能力欠缺

学好立体几何要求学生具有熟练的识图、用图能力，即从复杂的图形中区别出基本图形，并通过对基本图形的分析，识别出基本元素之间的基本关系。学生往往对图形仔细观察不够，推理分析不深，不能克服由空间到平面所产生的错觉，从而不能正确认识各元素的空间位置和图形的空间结构。

三、反思与建议

对上述存在问题，我认为与老师对作图教学重视不够、示范不够、指导不够，学生的作图、识图、用图训练不够有密切关系。由于高考对作图基本不考，所以有的老师干脆把“斜二测画法”晾在一边，砍掉不教了。在实际教学中，图形教学“草草收场”，习题教学“匆忙登场”；重视解题训练，忽视读图、识图能力培养；重视严密推理，忽视耐心观察而获取感性认识的现象屡见不鲜。针对此种现象我提出下列几点建议与老师们共同探讨：

（1）重视基本作图技能的训练，培养学生的作图能力

立体几何离不开图形，学好立体几何应从图形入手，学会画图、识图、用图。教师首先要高度重视作图教学，把图形教学落实到具体行动上来。要认识到培养空间想象能力，必须过好作图这一基础关，而教学不仅仅是为了考试，而是为了学生的数学素质全面提高和终身的发展，老师们应从这个高度出发，重视图形教学。其次要从最基本的平面图形的直观图、几何体的直观图入手，作好示范、严格要求，引导学生作出一个个漂亮而富有立体感的直观图，丰富学生的美感和想象力。

（2）强化概念教学、夯实空间想象的基础

立体几何图形的特征是通过概念来描述的，对概念的深刻理解是解题的基础，学生只有正确理解了概念，才能在头脑中想象并勾画出相应的几何图形，分

解出解题需要的元素。概念既是思维的基本元素，又是空间想象的出发点。要抓住概念的本质特征和关键要素进行教学弄清概念中包含哪些基本元素，以何种位置关系出现。使学生能多角度多层面透视概念，形成对概念的深刻理解。

（3）突出图形变换和转化的训练，提高学生的图形处理的能力

熟练地对空间图形进行变形处理，是学好立体几何的硬功夫，也是空间想象能力深化的标志。在教学中，我们应该有意识地加强这方面的训练，使学生在运动变化中认识图形，理解图形，使空间图形在学生面前不再僵化、呆板，而变得灵活、有生气。一方面要加强对图形的分割、补全、折叠、展开、剪拼等变形的训练，通过对图形的直观处理为解题提供帮助、使解题过程简洁、明快。另一方面要加强对图形的平移变形处理的训练。

（4）渗透数学思想方法提升空间想象能力

数学思想是对数学知识理性的、本质的、高度抽象的和概括的认识；数学方法是解决和研究数学问题，并达到目的的方法、手段、途径或程序。数学思想方法是数学精髓之所在，是教学的重点。立体几何教学中，我们主要要突出降维思想和类比思维方法的教学。

最后还是要引领学生深刻理解课本知识，强化知识重点、弥补知识弱点和盲点，使知识和能力产生良性迁移，争取达到弄通一题带动一类题的效果，提高课堂教学效益，有效提高学生复习效率，使高考复习更见成效。

王珏

2012．10

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几何图形

从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当的剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

几何体展开图规律：

1、沿多面体的棱将多面体剪开成平面图形，若干个平面图形也可以围成一个多面体；

2、同一个多面体沿不同的棱剪开，得到的平面展开图是不一样的，就是说:同一个立体图形可以有多种不同的展开图。

注意:

①正方体展开头记忆口诀:

正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁；

十四条边布周围，十一类图记分明；

四方成线两相卫，六种图形巧组合；

跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。

对面相隔不相连，识图巧排“7”、“凹”、“田”。

②在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个。

③正方体的展开图不会有"田"字形，"凹"字形的形状。

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新课标立体几何常考证明题

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点

（1）求证：EFGH是平行四边形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H证明：在ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH同理，FG//BD,FG

(2)90°30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形。

22、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。E BCAC证明：（1）CEAB AEBE

同理，ADBDDEAB AEBEB C 又∵CEDEE∴AB平面CDE

（2）由（1）有AB平面CDE

又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC

考点：线面垂直，面面垂直的判定

D3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证： AC1//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考点：线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC．证明：∵ACB90°BCAC

又SA面ABCSABC

BC面SACBCAD



又SCAD,SCBCCAD面SBC考点：线面垂直的判定

9、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN3NB（1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点，M



∴MQ//BC，∵ CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取 AB的中点D，连结 PD，∵PAPB,∴C

PDAB，又AN3NB，∴BNND

N ∴QN//PD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB B

1

（2）∵APB90，PAPB,∴PDAB2，∴QN1，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且

MQBC

1，∴MN

2考点：三垂线定理

12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．证明：在ADE中，ADAEDE，AEDE ∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE

又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD，PDRt

DCE中，DE在RtDEP中，PD2DE，DPE300 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．考点：线面垂直的判定

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立体几何证明题

如图，原题意就是一个正方体，然后E、F分别是A'B、B'C的中点，求证EF//面ABCD。

那些虚线是我做的辅助线，EM⊥AB，FN⊥BC，连接MN;然后EG⊥BB'，连接FG，EF。然后证那个五面体EGF-MBN是个三棱柱，从而证得EF//面ABCD，可不可以?

因为PA,PB,PC两辆垂直,,所以PC⊥面PAB..所以PC⊥GF...

因为G为△PAB的重心,,所以HG=1/3BH,,又因为PF=1/3PB..所以GF平行PH,,所以∠GFB=∠APB=90°....

即GF⊥PB...因为PB在面PBC上,,PC也在面PBC上..又PB∩PC=P...

所以GF⊥面PBC...

(2)在BC上取异于E的一点K,,使得CK=1/3BC...

因为BF=2/3PB,,BK=2/3BC,,所以所以△BFK∽△BPC...所以FK=2/3PC=2/3PB..即FK=BF..

因为E为BK中点,,BF=FK..所以FE⊥BC...

1.设P点的射影是H因为PB=PC=PD，所以H必是BC,DC的中垂线的交点，因为BH^2+PH^2=CH^2+PH^2=DH^2+PH^2又因为A是BC,DC的中垂线的`交点，所以A与P重合，PA垂直于平面ABCD.2.取AB中点F，过F做FM垂直AB于M，则∠EMF为所求角因为EF=1/2AP=1,FM=1/2BN=√3/2(N为AC中点)则可求得

取CD和BC的中点M,N,连接PM,PN,AM,AN,因为三角形ABC和三角形PBC都为等腰三角形，所以PN垂直于BC,AN还垂直于BC,所以BC垂直于面PAN,所以BC垂直于PA,同理证PA垂直于CD,即可。第二问，建空间直角坐标系，求两个面的法向量，再用向量夹角公式就可求出，结果为arccos(根号下21)/7.

因为PA,PB,PC两辆垂直,,所以PC⊥面PAB..所以PC⊥GF...

因为G为△PAB的重心,,所以HG=1/3BH,,又因为PF=1/3PB..所以GF平行PH,,所以∠GFB=∠APB=90°....

即GF⊥PB...因为PB在面PBC上,,PC也在面PBC上..又PB∩PC=P...

所以GF⊥面PBC...

(2)在BC上取异于E的一点K,,使得CK=1/3BC...

因为BF=2/3PB,,BK=2/3BC,,所以所以△BFK∽△BPC...所以FK=2/3PC=2/3PB..即FK=BF..

因为E为BK中点,,BF=FK..所以FE⊥BC...

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1.棱柱、棱锥、棱(圆)台的本质特征

⑴棱柱：①有两个互相平行的面(即底面平行且全等)，②其余各面(即侧面)每相邻两个面的公共边都互相平行(即侧棱都平行且相等)。

⑵棱锥：①有一个面(即底面)是多边形，②其余各面(即侧面)是有一个公共顶点的三角形。

⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，②两底面是平行且相似的多边形。

⑷圆台：①平行于底面的截面都是圆，②过轴的截面都是全等的等腰梯形，③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点。

2.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式

3.线线平行常用方法总结

(1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。

(2)公理：在空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行。

(3)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。

(4)线面垂直的性质：如果两条直线同时垂直于同一平面，那么两直线平行。

(5)面面平行的性质：若两个平行平面同时与第三个平面相交，那么两条交线平行。

4.线面平行的判定方法。

(1)定义：直线和平面没有公共点。

(2)判定定理：若不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

(3)面面平行的性质：两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

(4)线面垂直的性质：平面外于已知平面的垂线垂直的直线平行于已知平面。

5.判定两平面平行的方法。

(1)依定义采用反证法;

(2)利用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

(3)利用判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面内的两条直线，则这两平面平行。

(4)垂直于同一条直线的两个平面平行。

(5)平行于同一个平面的两个平面平行。

6.证明线线垂直的方法

(1)利用定义。

(2)线面垂直的性质：如果一条直线垂直于这个平面，那么这条直线垂直于这个平面的任何一条直线。

7.证明线面垂直的方法

(1)线面垂直的定义。

(2)线面垂直的判定定理1：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，那么，这条直线与这个平面垂直。

(3)线面垂直的判定定理2：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于平面。

(4)面面垂直的性质：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

(5)若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么这条直线必定垂直于另一个平面。

8.判定两个平面垂直的方法

(1)利用定义。

(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。

9.其他定理

夹在两平行平面之间的平行线段相等。

经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行。

两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。

10.空间直线和平面的位置关系

直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行

直线在平面外——直线和平面相交或平行，记作aα包括a∩α=A和a∥α

11.空间平面与平面的位置关系

垂直于同一个平面的所有直线(即平面的垂线)互相平行;

垂直于同一条直线的所有平面(即直线的垂面)互相平行。

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立体几何证明题举例

(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以C C1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以C C1⊥AD.又因为AD⊥DE，C C1，DE⊂平面BC C1 B1，C C1∩DE＝E，所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因为A1 B1＝A1 C1，F为B1 C1的中点，所以A1F⊥B1 C1.因为C C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F⊂平面A1 B1 C1，所以C C1⊥A1F.又因为C C1，B1 C1⊂平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1，所以A1F⊥平面BC C1 B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD

.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如图，在平行四边形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．

(1)求证：BD⊥平面CDE；

(2)求证：GH∥平面CDE；

(3)求三棱锥D－CEF的体积．

[审题导引](1)先证BD⊥ED，BD⊥CD，可证BD⊥平面CDE；

(2)由GH∥CD可证GH∥平面CDE；

(3)变换顶点，求VC－DEF.[规范解答](1)证明 ∵四边形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)证明 ∵G是DF的中点，又易知H是FC的中点，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)设Rt△BCD中，BC边上的高为h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，33∴h＝2C到平面DEF2，1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223

【例2】如图所示，已知在三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC；

(2)求证：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－

BCM的体积．

[审题导引](1)只要证明MD∥AP即可，根据三角形中位线定理可证；

(2)证明AP⊥BC；

(3)根据锥体体积公式进行计算．

[规范解答](1)证明由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.(2)证明因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由题意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.33

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线面垂直问题

（1）直线在平面内a（无数个公共点）；（2）直线和平面相交aA（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行a//（没有公共点）

如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，l

l,m,l//ml//m



如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这l//,l,ml//m4 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂线，平面叫做直线的直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线6 :

平面,7．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：,垂线,射影

⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影.这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的⑶射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,直线与平面平行，9．射影长相等定理:10．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。直线和平面所成角范围： 0 2

（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切

11在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；

（2）推理模式：PO,O,PAA,a,aOAaPA12．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这推理模式： PO,O,PAA,a,aAPaAO．

注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定⑵要考虑a

线面垂直问题

基本题型：

1．（1）“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的（）

（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（2）如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l与平面的位置关系是（）

（A）l（B）l⊥（C）l∥（D）l或l∥答案：（1）B(2)D 2．（1）过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一 3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？答案：（能，而且有无数条）（不能）

答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内.答案：是.假若有两个平面,过点A都于l垂直，过这条公共垂线l作一个不经过两平面,的交线的平面，与,分别相交于直线a,b,ablA且la,lb，l,a,b，从而有ab，此与abA矛盾.答案：是

8．点A为BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若ACBD,ADBC，求证：ABCD．

证明：连结OB,OC,OD，∵AO平面BCD，且ACBD

∴BDOC（三垂线定理逆定理）

同理ODBC，∴O为ABC的垂心，∴OBCD，又∵AO平面BCD，∴ABCD（三垂线定理）

9．如图，已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．

求证：

BE不可能垂直于平面SCD．

证明：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，BADOC∵ AB∥CD；∴AB⊥BE．

∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．

∴ BE不可能垂直于平面SCD B

C10．已知：空间四边形ABCD，ABAC，DBDC，求证：BCAD

证明：取BC中点E，连结AE,DE，∵ABAC,DBDC，∴AEBC,DEBC，∴BC平面AED，又∵AD平面AED，∴BCAD．

▲ 立体几何教案 ▼

必修1：集合，函数概念与基本初等函数(指数函数，幂函数，对数函数)

必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上所有的知识点是所有高中生必须掌握的，而且要懂得运用。

选修课程分为4个系列：

系列1：2个模块

选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图

系列2:3个模块

选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何

选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数

选修2-3：计数原理、随机变量及其分布列、统计案例

选修4-1：几何证明选讲

选修4-4：坐标系与参数方程

选修4-5：不等式选讲

2.重难点及其考点：

重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数。

难点：函数，圆锥曲线。

高考相关考点：

1.集合与逻辑：集合的逻辑与运算(一般出现在高考卷的第一道选择题)、简易逻辑、充要条件。

2.函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数函数、对数函数、函数的应用。

3.数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求通项、求和。

4.三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和差倍半公式、求值、化简、证明、三角函数的图像及其性质、应用。

5.平面向量:初等运算、坐标运算、数量积及其应用。

6.不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式(经常出现在大题的选做题里)、不等式的应用。

7.直线与圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系。

8.圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用。

9.直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量。

10.排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用。

11.概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布。

12.导数：导数的概念、求导、导数的应用。

13.复数：复数的概念与运算。

▲ 立体几何教案 ▼

立体几何是数学中较为简单和容易得分的考查内容，其难点主要集中在空间想象能力上和与其他内容的联系上。只要我们能够掌握有效的立体几何学习方法，将必然能够在短时间内学好高考所包括的这部分考点，从而使我们在考试中节省出一部分时间来专研其他的难题，拿到分数!

一.空间想象能力的提高。

开始学习的时候，首先要多看简单的立体几何题目，不能从难题入手。自己动手画一些立体几何的图形，比如教材上的习题，辅导书上的练习题，不看原图，自己先画。画出来的图形很可能和给出的图不一样，这是好事，再对比一下，那个图更容易解题。

二.逻辑思维能力的培养。

培养逻辑思维能力，首先是牢固掌握数学的基础知识，其次掌握必要的逻辑知识和逻辑思维。

1.加强对基本概念理解。

数学概念是数学知识体系的两大组成部分之一，理解与掌握数学概念是学好数学，提高数学能力的关键。

对于基本概念的理解，首先要多想。比如对异面直线的理解，两条直线不在同一个平面是简单的定义，如何才能不在同一个平面呢，第一是把同一个[平面上的直线离开这个平面，或者用两支笔来比划，这样直观上有了异面直线的概念，然后想在数学上怎么才能保证两条直线不在一个平面，那些条件能保证两条直线不在一个平面。我们多去想想，就可以知道，只要直线不平行，并且不相交，那么就异面，对于不平行的条件，在平面几何中我们已经知道，如何能保证不相交呢，想象延长线等手段能不能得到证明呢，如果不能，那么把其中一条直线放在一个平面，看另外一条直线和这个平面是否平行，这样我们对异面直线的概念就比较容易掌握。

这在立体几何“简单几何体”部分的学习中显得尤为突出，本章节中涉及大量的基本概念，掌握概念的合理性，严谨性，辨析相近易混的概念。如：正四面体与正三棱锥、长方体与直平行六面体、轴截面与直截面、球面与球等概念的区别和联系。

2.加强对数学命题理解，学会灵活运用数学命题解决问题。

对数学的公理，定理的理解和应用，突出反映在题目的证明和计算上。需要避免证明中出现逻辑推理不严密，运用定理、公理、法则时言非有据，或以主观臆断代替严密的科学论证，书写格式不合理，层次不清，数学符号语言使用不当，不合乎习惯等。

立体几何学习方法理论并不多，我们也不需要大量的题来训练。我们主要是应该提高自身的立体思维、逻辑思维。这些能力也不是我们简单的做几道题来提升的，是要在平时慢慢积累的。

▲ 立体几何教案 ▼

1、过两点有且只有一条直线

2、两点之间线段最短

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的余角相等

5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9、同位角相等，两直线平行

10、内错角相等，两直线平行

11、同旁内角互补，两直线平行

12、两直线平行，同位角相等

13、两直线平行，内错角相等

14、两直线平行，同旁内角互补

15、定理三角形两边的和大于第三边

16、推论三角形两边的差小于第三边

17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18、推论1直角三角形的两个锐角互余

19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21、全等三角形的对应边、对应角相等

22、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

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25、边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

26、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27、定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）

31、推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33、推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35、推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36、推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42、定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43、定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44、定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形

48、定理四边形的内角和等于360°

49、四边形的外角和等于360°

50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

51、推论任意多边的外角和等于360°

52、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56、平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57、平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58、平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59、平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61、矩形性质定理2矩形的对角线相等

62、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64、菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2

67、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71、定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72、定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75、等腰梯形的两条对角线相等

76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77、对角线相等的梯形是等腰梯形

78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79、推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80、推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2 S=L×h

83、(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc;如果ad=bc,那么a:b=c:d

84、(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85、(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91、相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA)

92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93、判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

94、判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(SSS)

95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96、性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97、性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98、性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101、圆是定点的距离等于定长的点的集合

102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的'集合

103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104、同圆或等圆的半径相等

105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109、定理不在同一直线上的三个点确定一条直线

110、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111、推论1

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112、推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115、推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116、定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117、推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118、推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

119、推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120、定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121、①直线L和⊙O相交d﹤r

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d﹥r

122、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124、推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125、推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127、圆的外切四边形的两组对边的和相等

128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129、推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131、推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133、推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135、①两圆外离d﹥R+r

②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

④两圆内切d=R-r(R﹥r)⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)

136、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137、定理把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138、定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

140、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141、正n边形的面积Sn=pnrn/2

p表示正n边形的周长

142、正三角形面积√3a/4

a表示边长

143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

144、弧长计算公式：L=n∏R/180

145、扇形面积公式：S扇形=n∏R/360=LR/2

146、内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

图形认识初步

1、(1)几何图形：我们把从实物中抽象出的各种图形称为几何图形。

①立体图形：有些几何图形（如长方形，正方体，圆柱，圆锥，球等）的各部分都不在同一平面内，它们是立体图形。

②平面图形：有些几何图形（如线段，角，三角形，长方形，圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形

（2）从不同方向看物体

①从正面看，可以分清物体的长度和高度

③从左面看，可以分清物体的高度和宽度

④从上面看，可以分清物体的长度和宽度

2、体、面、线，点

体：几何体也简称体

面：包围着体的是面

线：面和面相交的地方是线

点：线和线相交的地方是点

点动成线，线动成面，面动成体

注：(1)一般柱体都可以由底面的平面图形沿棱平移得到

（2）一般来说，有曲面的几何体，都可以由某一平面图形绕某一直线旋转得到

3、直线，射线，线段

（1）直线的基本性质（直线公理）

经过两点有一条直线，并且只要一条直线，简称为2点确定一条直线

（2）表示方法

用一个小写字母表示，如直线l,线段a

用大写字母表示如，线段AB，射线OA

（3）点与直线的位置关系

点在直线上________x_______

A点直线外__________________P

（4）两直线相交

两条直线相交有一个公共点，即交点

注意公理和定理的区分

（1）命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题

（2）组成：①命题是由题设和结论组成的，题设是已知，结论是由已知推出的事项

②命题可以写成“如果………那么”的形式

③经过推论证实的真命题叫定理

3、线段的性质

（1）线段的画法

尺规法：用圆规在射线AC上截取AB=a

度量法：先量出线段a的长度，在画出一条等于这个长度的线段

（2）线段的比较

叠合法：即把其中的一条线段移到另一条线段上作比较

度量法：即用刻度尺分别测量出它们的长度作比较

（3）线段的中点

一个点把其中一条线段分成两条相等的线段，这个点就叫做这条线段的中点，类似的还有线段的3等分点等。

（4）线段公理

两点连线的所有线段中，线段最短

（5）线段距离：连接两点间线段的长度，叫做两点间的距离

4、角

定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线是角的两条边。

注：角的大小和边长没有关系

角可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，当终止位置和起始位置成一条直线时所成的角叫做平角，等终止位置和起始位置重合是所形成的的角叫做周角。

（2）角的表示法

①用3个大写字母表示，表示顶点的字母必须写中间

②当顶角处只有一个角时，可以用表示顶角的一个大写字母表示

③用数字或希腊字母表示

（3）角的分类

①锐角：大于0°，小于90°的角

②直角：等于90°的角

④钝角：大于90°，小于180°的角

⑤平角：等于180°的角

⑥周角：等于360°的角

（4）角的度量和换算

①我们常用量角器量角，度，分秒是常用的角度单位，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作：1°；同样的还有，把一度的角60等分，记作：1’:把1分的角60等分，记作1’’

（2）换算方法

①由度化为分秒的形式：1°=60’，1’=60’’

②由分秒化为度的形式：1’’=

③画角的工具：三角板，量角器

（5）角的比较和运算

①比较：可以用量角器量出度数再比较

②和差：两种意义，几何意义和代数意义

（6）角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线

6、余角和补角

①余角

如果两个角的和等于90度，就说明这两个角互为余角

简称互余，其中一个角是另一的角的余角

②补角

如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角

③性质

等角（或同角）的余角补角相等

7、方位角

方位角通常以正南或正北方向为基准，描述物体运动的方向，通常先写正北或正南，在写偏东或偏西

相交线与平行线

1、两条相交线所形成的角

邻补角：有一条公共边，它们的一条边互为反向延长线，邻补角互补

对顶角：有一个公共点，它们的两边都互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角，对顶角相等

（1）邻补角和对顶角都是成对出现的

（2）对顶角相等：但相等不一定是对顶角

（3）两条直线相交，形成两组对顶角，分别相等，这一条件作为隐含条件，因此可以直接使用

（4）在两条直线相交所得的四个角中，其中有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角，有公共顶点且有一条公共边的两个角都是邻补角

2、垂线的相关定义

①垂直：当两条直线相交所形成的4个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线相互垂直。

②垂线：当两条直线相互垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂直

③点到直线的距离：直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线最短，简称“垂线段最短”

注：1、垂线是直线，垂线段是线段

2、斜线段有无数条，而垂线段只有一条

3、在比较两条线段的长短时，要弄清那一条是垂线

3、平行线

①定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。直线a与b平行，记a//b

②画法：一落-----把三角尺一边落在已知直线上

二靠-------用直尺紧靠三角形的另一边

三移-------把三角形沿直尺的边推到三角尺的第一边恰好经过已知点的位置

四画------沿三角尺过已知点的边画直线

（3）平行线的公理及其推论

①平行公理：经过直线外的一点，有且只有一条直线与这条直线平行，推论：如果两直线都与第三条直线平行，那么着两条直线互相平行

（4）平行线的判定

①同位角相等，两直线平行

②内错角相等，两直线平行

③同旁内角互补，两直线平行

（5）平行线的性质

①两直线平行，同位角相等

②两直线平行，内错角相等

③两直线平行，同旁内角互补

注：平行线的性质和平行线判定的区别

判定是由角相等或互补推出的直线平行，性质是由直线平行推出的角的相等或互补

▲ 立体几何教案 ▼

各类考试中都有立体几何论证的考察，论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，

解立体几何的问题，要充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。通过转化可以使问题得以大大简化。

在平时要养成良好的答题习惯，按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。

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