<一> 高考数学逻辑思想总结
?一、，大体可分四个阶段，每一个阶段的与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的方案，采用不同的和策略。
②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。注意到老师选题的综合性在不断地加强。③明了课本从前到后的`知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。能提炼解题所用知识点，并说出其出处。④经常将使用最多的知识点总结起来，研究重点知识所在章节，并了解各章节在课本中的地位和作用。
技巧为主线，主要研究数学思想方法。老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的为目的，提出、分析、解决问题的思路用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论”等方法解决一类问题、一系列问题。同学们应做到：①主动将有关知识进行必要的拆分、加工重组。找出某个知识点会在一系列题目中出现，某种方法可以解决一类问题。②分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。③从现在开始，解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家务必将解题过程写得层次分明，结构完整。④适当选做各地模拟和以往题，逐渐弄清考查的范围和重点。
填空题的解法、应用题的解法、探究性命题的解法、综合题的解法、创新性题的解法”，教给同学们一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高同学们的解题速度和应对策略为目的。同学们应做到：①解题时，会从多种方法中选择最省时、最省事的方法，力求多方位，多角度的思考问题，逐渐适应高考对“减缩”的要求。②注意自己的解题速度，审题要慢，要全，下笔要准，答题要快。③养成在解题过程中分析命题者的意图的习惯，思考命题者是怎样将考查的知识点有机的结合起来的，有那些思想方法被复合在其中，对命题者想要考我什么，我应该会什么，做到心知肚明。
；锁定重中之重，掌握最重要的知识到炉火纯青的地步。②抓思维易错点，注重典型题型。③浏览自己以前做过的习题、试卷，回忆自己相关知识的历程，做好“再”纠错。④博览群书，博闻强记，使自己见多识广，注意那些背景新、方法新，知识具有代表性的问题。⑤不做难题、偏题、怪题，保持情绪稳定，充满信心，准备应考。
二、高三数学复习中的几个注意点
1．复习要精，不可超过两套，使用过程中，始终注重其系统性。千万不要贪多，多了，不但使自己身陷题海，不能自拔，而且会因为你的顾此失彼，而使知识体系得不到延续。
2．有的同学漠视自己作业和考试中出现的错误，将他们简单的归结为粗心大意。这是很严重的错误想法，我们的错误都有其必然性，一定要究根问底，找出真正的原因，及时改正，并记住这样的教训。
偏题、怪题。这里的能力是指：，对现实生活的观察分析力，创造性的能力，探究性实验动手能力，理解运用实际问题的能力，分析和解决问题的探究创新能力，处理、运用信息的能力，新材料、新情景、新问题应变理解能力，其重点是概念观点形成和规律的认识过程，它往往蕴藏在最简单、最基础的题目活事实之中。不是钻牛角尖能钻出来的能力。
压题信息，不可迷信。因为，他们也不是神，我们上了考场只能凭自己的实力，凭自己的智慧去打拼，所以，我们应该踏踏实实、认认真真做好复习应考工作。
<二> 高考数学逻辑思想总结
逻辑学被认为是研究推理规则有效性的科学，而推理是人之思维的重要构成。然而，由于人天生具有逻辑推理能力，似乎不需要专门学习高深的逻辑学，逻辑学的研究便面临这样一个尴尬局面：迅猛发展的逻辑学对现实生活中人的推理能力的提高和改进没有或者很少有用武之地。今天，逻辑学研究在人工智能的发展中展现出巨大的效力，在职业哲学家那里用作专业哲学分析也有巨大作用，而对于我们的日常生活实践，似乎只有指出人们口头言辞或书面表达中逻辑错误的功用了。逻辑学这种脱离生活实践的状态与其作为一门起源于实践的人文学科之学科地位不相称，而从逻辑学的角度提出思想分析技术这一全新的研究方向将十分有助于改变逻辑学目前的这种状况。
在现代逻辑的研究中，逻辑学与心理学的研究对象被严格地进行区分。现代逻辑之父弗雷格在〈算术基础》的导言中给出了他研究的三个基本原则，其中第一个就是：“总是严格区分心理的东西和逻辑的东西、主观的东西和客观的东西。”①在弗雷格看来，逻辑学所研究的东西是客观的，与心理学所研究的东西有严格的区别。逻辑学与心理学所研究的对象不同，两者的方法自然存在巨大差异。现代逻辑自弗雷格之后得到迅速发展，逻辑学走出了一条完全不同于心理学的路子。尽管现代逻辑的研究方法和对象与心理学存在不同，但是，逻辑学所关心的中心话题一推理与论证，是人思维的重要部分，因此，逻辑学应有助于人们思维的提高和改进。由于人存在一个不同于身体和心理的独特部分，即“思想部分”或“认知部分”，人的这个部分与人的其他部分一样会出现病症，从而导致人类的心灵痛苦。这种心灵痛苦的根源在于认知世界中的“冲突”，逻辑学在解决这一冲突方面具有巨大作用，对心灵痛苦进行治疗需要发展出一系列与逻辑学密相关的思想治疗技术或思想分析技术。实际上，既存在与心理学密切相关的心理治疗，也存在与逻辑学密切相关的思想治疗。需要说明的是，本文所倡导的“思想分析”或“思想治疗”是现代分析哲学在生活实践中的延伸，它与西方发端于上世纪80年代的“哲学践行”（philosophicalpractice）①运动相契合，然而，这里所说的思想分析与它们有一个根本的区别，这就是，思想分析的基本原则是“分析即是治疗”。
―、实在的思想领域 自柏拉图开始，心身问题便进入了哲学家的视域中。笛卡尔开创了心物二元论，他从“我思，故我在’“证明出’“我（心灵）”作为独立的实体而存在。今天，在心灵哲学那里，对于如何解释心灵现象，哲学家们争论不休，并且提出许多理论，如物理主义认为心灵现象能够通过分析人的大脑的物理活动来解释。哲学家争论的是心身关系问题，而科学家所关心的则是人的生理部分和心理部分的运动规律。关于人本身，存在着两大科学研究领域：生理领域和心理领域，因而，关于人本身的研究形成两类科学：对人的生理部分进行研究的一类科学叫作生理学；对人的心理部分进行研究的另外一类科学叫作心理学。这两类科学存在一定的交叉。它们之所以被称为科学，是因为两个领域里的研究者们都采取观察、实验等实证的科学研究方法，探寻因果性的规律；所不同的只是领域不同而已。对于它们的科学性，哲学家之所以没有争论，是因为这是社会事实：这两大学科群在历史中演进，并且已经形成或曾经有过多个库恩意义上的“范式”。我们可以看到，在对人进行研究的科学那里，人被划分为两个部分，即生理和心理的部分。人的四肢、五脏六腑等是人的生理部分，这些部分是看得见的或者说是能够看得见的；它们是由物质组成的，因而遵循物理规律，当然还有自身独特的生理规律，而这则是生理学研究所要揭示的。而我的感觉、我的思维、我的梦等是我的心理部分，这些部分是看不见的、依赖于我，这些心理活动虽然被认为是主观的，但它仍然遵循一定的心理学规律。然而，对于人而言，还存在着一个不同于客观的生理部分和主观的心理部分的第三个部分，这便是思想部分，思想部分也可以称为认知部分。思想部分之所以是人的第三个部分，是因为不可否认的是，在人的大脑（或心灵）中存在对世界的认识，这些认识是在大脑（或心灵）中稳定性的独特存在；它们不是物质的，也不是不可捉摸的、稍纵即逝的心理内容。不管心灵能否独立于人的身体而存在，只要人有对世界的认识，这些认识在人的心（脑）中便形成独特也是独立的存在。 那么，人的认知世界里包括什么内容呢？粗略地说，除逻辑之外，包括在不同命题之上加上不同认知态度所构成的认知命题。在不太严格的意义上，我们可以用广义的信念来称谓认知世界里的认知命题，这些认知命题本身构成认知事实。人的思想世界或认知世界里的这些认知事实或认知内容是实在的，其理由如下。 首先，认知是一个个发生在心灵之中的事实。认知事实不同于物理事实，不能为人的某个感官所感知，但能够被心灵所感知，这样的感知便是反省。此外，认知也可以被他人所认识。举个例子，如果我问你‘1+1等于多少？”你会怀疑我问这么幼稚的问题的动机。因为在你心中，*1+1=2”是没有任何疑问的。如果我再问你：“地球与太阳是什么关系？”你就会说很多，如地球围绕太阳转、地球从太阳那里获得阳光、地球是太阳系八大行星之_（原来人们认为太阳系有九大行星），等等。在你的心中有许多被称为是“知识”东西，你可以用语言将它们表达出来。这些便是你的思想。人的认知是以命题的形式出现的，它是人们对世界的看法。这里的世界包括人的外部世界，也包括人的.内部世界。在心中，这样的事实是持续的而非稍纵即逝的，可言说的而非不可捉摸的。如果我拥有某个信念，那么这个信念就不会莫名其妙地消失，除非我的记忆出现障碍，即使如此，我仍然可以尝试地从我的记忆库中将它找出来。若一个人表达了与他所知道的外部事实不同的事情，那么，这种行为就会被认为是说谎；同样，若一个人表达的事情与他所知道的内部事实或心灵中的事实不同，这种的行为同样被认为是说谎。比如，有一个游客问我“你知道南京大学本部在哪里吗？”我说“不知道”此时我便是在说谎，因为我很清楚并且这也是我心灵中的一个事实：我知道南京大学本部在鼓楼区的汉口路。 其次，人的认知遵循着不同于物理规律的另一种规律，这便是逻辑规律。不同的人往往具有不同的认知，这也是人们可能反对我观点的理由。我说人的认知具有实在性，并不表明所有人均具有相同的认知。比如“所有成功均是由艰苦的努力而获得的”是我的信念，不表明其他人也应当有同样的信念，事实上，其他人可以拥有与之不同甚至相反的信念，因为有人相信“有的成功是轻易获得的”。然而，如果我相信“所有成功均是由艰苦的努力而获得的”，那么，我便不能相信“有的成功是轻易获得的””而你如果相信“有的成功是轻易获得的”，你就不能相信“所有成功均是由艰苦的努力而获得的”，这便是逻辑规律的要求。 第三，认知对拥有者的行动产生影响，或者说它指导拥有者的行动，正如物理客体的实在性表现在物体对其他客体的影响之上。我们的行动受制于我们的认知，这一点无需多言。只要我们想想拥有不同认知的人在同样环境下往往采取不同的行动这一现象，这一点就十分清楚。 以上三点说明，人的思想部分是人独立的第三部分，然而，这样的说法会招致许多人尤其是心理学家们的激烈反对。因为在他们看来，这里所说的这些内容属于心理领域，因而属于心理学的研究对象。我要表明的是，人的思想部分因其实在性、与心灵相关，更应该被看成是一个独立的部分，其研究应该是独立的科学而不应该从属于心理学。正如弗雷格所认为的，逻辑学的研究对象与心理学的研究对象不同，人的认知与逻辑学高度相关，因而对人的认知世界的研究也应该独立于心理学。事实上，反对人的思想部分是独立的部分之心理学家自身也会面临同样的问题：心理部分也不是独立的部分，因为人的心理活动主体是人的神经系统。因此，将由人心的活动而形成的东西看成是独立的部分，这是站得住脚的。 有人也许会问：人的思想部分中的实在性的认知是客观的吗？我想，如果客观性被认为是物理客体的一个性质，那么人的认知便不具有客观实在性，因为它存在于人的主观世界之中，不是物理客体；然而，如果某种东西遵循客观性指的是它遵循某种客观规律，那么人的认知世界就具有客观性，因为人的认知世界遵循逻辑定律。此外，人思想世界中的元素除了具有实在性的特点外，还有如下特征。 首先，不同人的思想世界中必定存在‘‘共同的”元素，这个共同的元素便是逻辑定律。人的认知世界里的元素分为与生俱来的部分和后天获得的部分，与生俱来的部分便是逻辑，逻辑是构成“理性”的部分，它是先验的。人是有理性的，指的是人具有推理能力，这个能力不是学习而来的，通过学习而来的部分构成人的认知世界里的后天部分。与生俱来的逻辑是所有人共有的，它们是人后天认知的基础。 其次，思想世界里的这些内容是‘‘可言说的”，同时，这些内容也是他人“可理解的”。这是语言的神奇之处：语言可以表达你的思想、他人可理解你的表达。比如，学习欧氏几何的人能够告诉你“三角形的三角之和是180度”；被告知月球和地球的质量和距离的数据后，学习过万有引力定律的人能够计算出两者的引力，同时能够计算出月球公转周期；任何人都能够明白，若一个命题有真假二值，那么该命题或者是真的或者是假的，等等。因此，在每个人的“心”中，存在着能够“言说的”、能够“想起的”以及“自明的”内容。 第三，思想世界里的内容是可添加的，这个添加的过程便是学习。人心中（脑中）的某处存在着一个可以不断增加新内容的存储空间，学习过程便是将新的知识（信念）写入该空间的过程。 第四，思想世界里的内容是可修正的。如果新学习的内容（证据、知识、信念等）与原有内容发生冲突，那么如何使原有内容与新内容相协调呢？这正是信念修正理论所要探讨的内容。 正是因为人的认知领域是实在的，因此，对人认知领域的研究将会构成一门不同于生理学、心理学的科学，那么，这是一门什么样的科学呢？我认为，这是一个逻辑学的研究领域，即研究认知世界应当具有的静态和动态的结构。在历史上，逻辑学一直与心理学难舍难分，自弗雷格以来，逻辑学被认为是不研究人是如何思维，而是研究人应当如何思维的。尽管目前逻辑学有趋向心理学的趋势，但逻辑学与心理学在研究方法和研究目标上均是不同的。比如，信念之间应当是什么样的关系、人应当如何学习等等这些是逻辑学的研究内容。认知逻辑便是研究信念之间的逻辑关系，在模态逻辑基础上构造了各种完全的和可靠的认知逻辑系统。在主观主义的概率逻辑中，贝耶斯公式给出了理性人应当如何根据新的证据修正自己对某个事件的概率。而目前，信念修正逻辑正在研究如何根据新的信念收缩或扩张原来的信念集，等等。总之，对人的认知世界进行研究目前已成为许多逻辑学子学科的发展方向。当然，心灵中的认知构成一个谱系。对这一思想世界进行研究的科学是什么？我们权且称作‘‘思想学”，这是一个学科群。目前有一门叫做“认知科学”的学科，它类似于我们这里所说的思想学。 二、惑：思想之症的根源 如同人的生理部分和心理部分会发生病症一样，人的思想部分也会产生病症，人因这种病症而导致的痛苦如同身体的病痛一样是实实在在的。这种痛苦发生的场所虽在心理，但根源在心灵，因而被称为心灵痛苦。对之，我们（除了孩童）都会有切身的感受，严重者其痛苦不亚于身体带来的痛苦。有人认为这种痛苦是心理的而非思想的，然而个刚出生的、没有获得关于外部世界或内部世界认知的婴儿，尽管有心理活动，但不可能有由于信念冲突而产生的痛苦。 马里诺夫在《哲学实践》中将人的生物部分（biology）的问题称作“病（illness）”，对它进行治疗属于药物的领域；将人的心理部分（affect）的问题称作“失调disorder”，对它进行治疗属于心理学的内容；而将人的思想部分（though）的问题称为“disease”，对它进行治疗是哲学的任务。在中文语境中Disease”可理解成“不爽’、“纠结”。 本文将这种产生心灵痛苦的思想问题称作“惑”。在中国文化中，惑作为名词用来表述人身体“不适”的状况有两种：一是指因身体的原因而造成的不适；二是指因认知上的不理解所造成的“惑”，或者说指的是人们心中对某个事情不理解或不确定。对于前者，黄帝内经中把因看到某些现象而使自己产生迷乱称为“惑’。《黄帝内经？灵枢》中的〈（大惑论》是这样解释这种“惑”的：“目者，心使也。心者，神之舍也，故神精乱而不转。卒然见非常处精神魂魄，散不相得，故曰惑也。”对于后者，如韩愈所说的“师者，传道，授业，解惑也”中的“惑”，便是对某事的不理解、困惑，这里的惑可以是认知上的，也可以是行动上的。本文在这里用“惑”泛指因心灵中的各种认知问题而导致身体的各种不适，轻者为不爽，重者为痛苦。而分析师所要做的便是帮助人们“解惑”：消除导致人们产生痛苦的各种心灵上的问题。惑使人们产生心灵不适，其根源在于认知世界之中，即惑是认知世界中的“问题”，它与心理问题有根本的区别：心理问题的根源在于生理，因而可以用药物进行治疗；心灵问题的根源在于认知世界，因而需要用“哲学的方法”进行治疗，对该根源的研究是思想分析理论研究的一个重要任务。 简单来说，惑就是心灵中的“认知冲突”。矛盾是最为严重的认知冲突，当然，我们的心灵不会直接相信一个矛盾（p&~p），但是相信p并且相信~p，这是可能，因为它在认知方面的冲突比相信矛盾要弱。之所以这样说，是因为人们由相信p和相信~p从而“得到”相信矛盾（p&~p）要进行推理。因而这样是可能的，即我们将p和~p置于我们的信念系统之中，而不进行一个得到矛盾（p&~p）的推理过程。当然，一般而言，我们在心灵中不会发生同时相信p和相信非p这样的认知冲突。比上述两种认知冲突更弱的认知冲突是，多个信念推出一个逻辑矛盾，如相信p，相信p蕴涵q，且相信~q便是这样的认知冲突。我们的信念体系中存在着这样“复杂的”认知冲突是可能的。 有人可能会提出这样的疑问，即人们的心灵痛苦往往源于行动选择上的两难，这是认知冲突或者说是“惑”造成的吗？当然是。行动选择的痛苦源于行动背后的“理由”之间的冲突：选择A行动是有理由的，同时选择A之外的其他行动也是有理由的，而选择A行动和选择A之外的行动是相互冲突的，因而不能同时选择。如果我们把这些理由汇聚在一起，那么这些理由会表明，既应当选择行动A，同时不应当选择行动A（应当选择A之外的行动）。这里所说的理由，实际上便是我们长期形成的、指导我们行动的信念，而行动选择的痛苦恰恰说明我们的信念体系中存在着不一致。另外，我们有一些心灵痛苦不是表现在行动上，而是直接表现在认知上。著名物理学家玻尔兹曼之死便是一个例子：新物理学的产生动摇了他以前接受的信念。他的这种痛苦便是认知选择的两难。实际上，认知选择同样是行动，这种选择是在多个信念之间进行选择，而不是在具体的实体行动上的选择。与行动选择上的两难相同的是，这种痛苦的根源是由于作为理由的更高层次上的信念冲突所造成的。 此外，使我们心灵痛苦的往往是当我们的信念体系结合某个具体的场景而产生不一致，而在这样的场景未出现时，该不一致没有在我们的信念体系中显现出来。比如，我有这样的信念：“我们不应当说谎’，“我们应当尽力让我们的亲人幸福”；它们在我的心灵之中，没有直接的矛盾。然而，我们可以想象这样一个场景：我的亲人得了重病，我了解病情而我的亲人不了解，当他向我询问病情的时候，我便面临着这样一个信念冲突：‘我们不应当说谎”的信念使我应当告知我的亲人他的病情；而“我们应当尽力让我们的亲人幸福”的信念则使我应当隐瞒他的病情，因为他一旦获知病情，他痛苦增加，并且有可能使病情更加严重。这便是不一致。于是我的心灵便产生痛苦，即发生惑的状态。人的行动是在信念指导下采取的，在某个场景下不同信念所给出的“不一致”的行动指导将使我们无所适从。或许有人会说，上述例子中人们不会痛苦，因为在这种情况下，我们可以为了我们的亲人而说谎；然而，当我们这样做时，我们就已经不再坚守“我们不应该说谎”的信念。而对于坚持上述两个信念的人而言，痛苦则是必然的。 我们可看到，上述痛苦的根源即“惑”是严格的逻辑不一致，但并非所有的心灵痛苦都是由于严格的逻辑不一致造成的。有许多心灵痛苦的根源可以归结为“应然”与“实然”的认知冲突。这种冲突有共时和历时两种情况‘共时的冲突”为，某时刻的应然与实然的不一致；“历时的冲突”为，两个时刻下应然与实然的冲突。失恋便是共时的冲突，我们来分析它的认知结构。人们失恋时，心灵是痛苦的，严重者会自杀。失恋之痛的原因可以归结为：对方不爱我了，这是“实然的”的状态，并且我知道这种状态；但是，在我心中我不能接受对方不爱我的事实，对方“应该”爱我。如果用“A”表示“某人爱我”这样的命亂‘0”表示“应当”，失恋的状态可描述为：OA&~A。概言之，共时的冲突的逻辑构造为：0A&—A或0~A&A。0A或0~A是某个主体对行动者的评价，而实际的行动为A（或~A）。 后悔、愧疚者其根源同样是应然与实然的冲突，而这种冲突则是历时的：实然与应然是两个时刻发生的状态。某个人反思自己过去的行动，在过去的某个时刻他应当做（或不应当做）某个行动，这个行动是在他的能力范围之内的，但实际上他没有做（或已经做了）该行动，而因为他没有做这个行动（或做了该行动），他伤害了某个人。这个被伤害者可以是反思者或行动者自己，也可以是他人。如果是行动者自己，在反思中他的心灵处于“后悔”的痛苦中；如果被伤害者是他人，他的心灵便处于“愧疚”的痛苦中。晋朝的王导因没有去救周青而痛哭说：“我不杀伯仁，伯仁却因我而死”，这便是内疚。历时冲突之根源的逻辑构造是：0A&~A（或者0~A&A）。某个行动者的行动A（或~A）在先，他对A的反思得到0A（或0~A）在后；而行动者在当初作出这样的行动A（或~A）时，没有0A（或0~A）的反思结论。当然，我要再次强调的是，这种“实然”与“应然”的冲突是发生于心灵之中的认知冲突，这种冲突不是严格的逻辑不一致，尽管它所造成的痛苦不亚于那种严格的逻辑不一致造成的痛苦。 三、消解“惑”的苏格拉底式对话术与思想治疗技术 消解惑从而解除人们心灵上的痛苦的方法是，通过与思想分析师进行治疗性“对话”而得到治疗。苏格拉底和弗洛伊德分别提供给我们两种不同的“对话治疗方法””前者是哲学的或逻辑的，后者是心理学的。我们在这里所倡导的对话方法是苏格拉底式的而非弗洛伊德式的。苏格拉底被称为精神助产士，在柏拉图所著的〈煙想国》中，我们可以看到，苏格拉底与他人对话的特征是，通过“如果，则”的“引导式”对话方法引导对方表达，这个过程其实是分析过程。通过这个过程，确定对方表达中的不一致性，从而使对方思想清晰。这个不一致性不是显现的，而是隐形的；只有在苏格拉底式的哲学家的“帮助”下，隐形的不一致才能够显现出来。对于苏格拉底这个方法的功效，罗素说：‘苏格拉底的处理方法所适用的，乃是那些我们对之已有足够的知识而可以达到正确结论的事物，但由于我们思想混乱或者缺乏分析的缘故而未能对于我们所知的东西加以最好的逻辑的使用……辩证的方法一或者，更广义地说，无拘无束地辩论的习惯一是有助于增进逻辑的一贯性的，因而在这方面便是有用的。”也就是说，苏格拉底的这个对话方法能够使人们思想清晰。 弗洛伊德的“心理分析”或“精神分析”理论，其方法也是提供“交谈”以治疗心理疾病。弗洛伊德明确地说：“在精神分析的治疗时，除医生同病人谈话之外，别无其他。病人说出他的以往的经验，目前的影响，诉苦，并表示他的愿望和情绪。医生则只有静听，设法引导病人的思路，迫使他注意某些方面，给他一些解释，观察他因此而引起的赞许或否认的反应……说话和巫术最初本来是同一码事，在今天，我们用话语可使人快乐，也可使人失望。教员用话语向学生传授知识，言说者用话语感动听众，左右他们的判断。话语可以引起情绪，我们常用以为互相感应的根据。所以我们不要看轻心理治疗的谈话。”然而，由于弗洛伊德预设了人的心理创伤是在前意识层和无意识层，而不在意识层，因而在患者被催眠之后所进行的治疗对话中起作用的不是逻辑的力量，这与本文所倡导的注重逻辑的思想分析术不同。 苏格拉底式的对话与本文所倡导的“解惑式对谈术”在许多方面是一致的，对话双方都要遵循逻辑（理性），双方都是理性的，这是共同知识①；不给对方增加新信念，双方谈话中举的例子都来源于日常生活；双方在使思想清晰这个目标上是一致的，等等。 然而，尽管如此，本文倡导的解惑对话术与苏格拉底的对话之间仍然存在一些不同：（1）我所倡导的“解惑式对谈术”是以解决问题（解惑）为中心，与苏格拉底式的以思想清晰为中心不同，苏格拉底的精神助产术可以看成是“思想清晰式对谈术”。⑵在“解惑式对谈”中，双方的对话是合作性的对话，分析师更多的是采用“引导式”和肯定对方表达的“肯定式”，尽管在某些特定的时候分析师也采取对对方的陈述进行否定的“否定式”应答方式；而在苏格拉底的精神助产术中，尽管“引导式”经常被采用，但其目的是使思想清晰，对话方式没有禁忌，因而任何形式的对话包括论辩都可以应用，只要有助于思想清晰即可。（3）双方的对话基础存在不同。在苏格拉底的对话中，双方共同的对话基础是双方的共有理性；而在解惑式对谈中，除了惑者存在疑惑外，对分析师的信任构成共同信念，等等。 对惑者进行治疗所用的方法是分柝“分析就是治疗”是我所倡导的解惑哲学家应当秉承的教义，这也是本文将思想治疗技术与思想分析技术在同一个意义上使用的原因。思想分析技术的研究，不仅包括对人的认知世界的研究与分析、对人们之间对话的形式结构的分析，还包括对人的认知形成及认知更新的研究，当然还包括如何将现有高新技术应用到解惑之中的研究，等等。 我们可以看到，思想分析技术研究是一个涉及多个学科的研究。它首先涉及逻辑学，因为无论是对认知世界的分析、对话的形式结构分析，还是认知形成与更新，这些都是逻辑学所关心的。但是光有逻辑学是不够的，它还涉及心理学、哲学、伦理学以及语言学、计算机科学等多个学科。因此，这是一个开放的研究领域。 思想分析领域还是一个具有人文关怀的领域。从这个意义上说，思想分析师的解惑不是在“治疗”（cure），而是在“关怀”（care），他们的工作是“人文关怀”。如同基因修复技术一样，思想分析技术是对有问题的思想的修复，因而可以称为“认知修复技术”或“信念修复技术”。这种修复工作是运用逻辑的哲学家所从事的，它不同于神职人员和意识形态工作者。哲学家在与惑者进行对话时纯粹是进行分析，严格坚持“价值中立”原则，不给惑者添加任何信念和价值观。思想分析师是逻辑应用专家，因而是实践中的哲学家。这种工作是分析哲学在生活实践中的自然延伸，分析哲学本身是“治疗性的”，它通过逻辑分析与语言分析指出传统的形而上学的错误，而思想分析师则是通过逻辑应用与语言使用解决人们心灵上的痛苦。 这里所说的思想分析师是对罗蒂所说的“教化哲学家”的进一步专业化。罗蒂把哲学分为两类：系统哲学家和教化哲学家。教化哲学不同于建设性并提供论证的系统哲学，它以进行谈话而非发现真理为目的，罗蒂说：1把教化哲学家看作谈话伙伴，是把他们看作对共同关心的主体持有观点的一种替代性选择。”在他看来，教化哲学家的文化作用是帮助我们避免自欺。而本文所提出的作为哲学家的思想分析师其实践目的更为明确：惑者通过与思想分析师的谈话，使认知不一致得以消失、心灵中的痛苦得以消除。 我记得短评中有个人说它有思考性，也许是这样，但这只是几为片面的。书上写的是什么，“逻辑思维能力”，但，如果你系统学过逻辑的话，你会发现，这本书基本一点逻辑都没有。 分开来讲： 归纳逻辑：第一，这本书是把归纳及类比分开来的。可耻，可耻。若翻看《逻辑学导论》，你会发现，类比是在归纳之下的。第二，虽然书中提到的例子是归纳，但是此书又讲如何归纳吗？有写如何判断归纳强弱吗？显然没有。第三，书中有提到重要的密尔方法吗？答案显然是否定的。 演绎逻辑：先别说别的，就是连书中提到的例子也不是演绎。学过逻辑的人都知道，此逻辑分为三大类：三段论，语句逻辑，量化理论（《逻辑与哲学》中称为谓词逻辑）。但一点也没提到！别说19条基本规则，连符号表达也不提。你说，这样的书还能说“逻辑”吗？ 非形式逻辑：这就算了，连提都没提，还能说什么？ 本人还只是学生，虽学过逻辑，但也会出错。若发现上面有错误，请指出。 本学期开设了“逻辑狗”思维训练教学，第一次接触这门教学压力比较大，因对这门教学还不是很了解，但通过一学期的学习，对这门教学有了初步的了解，“逻辑狗”的内容非常丰富，都是孩子们常见的生活用品和生活场景、童话故事、蔬菜瓜果、动植物等，幼儿在学习过程中比较轻松愉快。同时，每个游戏都是对智力的考验：观察、比较、分析、判断、综合、推理；既动口、动脑、动目、又动手操作，非常符合幼儿的学习特点。现将本学期总结如下： 一、孩子方面： 1、刚开始教孩子认识学具聪明板，上面的六个不同颜色圆钮，以叫小汽车名字，教孩子们认识，孩子们对聪明板就非常的感兴趣。都想推动圆钮开小汽车。还教孩子们用大拇指和食指来开动小汽车，在马路上行驶，小汽车不能停在路上，要停在车库。让孩子们反复练习把小汽车从家里开到车库很快，孩子们学会了如何推动圆钮。 2、因本班是新开设逻辑狗课程，开学就重点培养孩子们常规，我们要求孩子轻拿取放聪明板，现在孩子们都有很大进步拿卡片速度快，而且还很安静。在活动中独立操作，并要求他们操作后自己独立检测，为了保证每一个孩子能够自主完成检测的目的，我们要求幼儿做完作业后，举手示意讲述自己的操作方法，刚开始有的孩子操作完了不敢讲述自己的操作方法怕讲错，，我就想了个办法说：‘谁上逻辑狗课操作完能将自己的操作方法告诉老师，下课我就请他在礼物盒里面抽神秘的奖品，说错了没关系只要能给老师讲”，这样孩子的积极性高了，大多幼都能将自己操作的方法告诉老师，语言运用能力得到提高，当幼儿出现错误答案，引导幼儿重新思考，完成作业。这样做虽然在时间上有个别幼儿等待现象，但在刚开始的常规培养方面，有利于幼儿养成正确的自检方法，避免出现幼儿根据正确答案更改错误的现象发生。同时提醒孩子反复操作，这不是简单的重复，而是让孩子运用多种方法灵活解题。不过因孩子还小还不会运用多种方法去解题。 3、经过一学期学习孩子们有进步，也有不足有的幼检查习惯还没养成。背面卡片有些是涂色为主，部分幼还是会有乱涂乱画现象。操作不够安静，下课后常规还不够好,放聪明板到逻辑狗柜纪律有点乱。个别能力差的幼儿，简单的卡片都需要老师辅导才会做，难的卡片就更不会做了，还需加强辅导。 二、教师方面： 学习了“逻辑狗”，我感觉自己也有一些变化，以前我不爱动脑筋，现在喜欢动脑想很多解决问题的方法了，胆子慢慢变大了，自信了很多。自己有进步同时还有做的不足的导入活动提问设计，要想好给孩子抛出的问题，这样自己有时上课脑袋的思路，就不会乱了。也不会出现提出的问题孩子听了不清晰。 三、家长方面： 家长能与孩子一起学习，共同进步，家长的参与让孩子们更加尽快地接受了“逻辑狗”，适应了“逻辑狗”的教学方法。有些家长告诉我说，孩子经常在家像小老师一样教我们做逻辑狗，我们做错了，还会纠正我们错误。非常的自信。有刚开始不认识有些颜色的孩子基本现在都能认识。 通过一学期的努力，我们班的孩子在观察能力、想象力、逻辑思维能力等各方面都有了很大的提高，看到孩子们点点滴滴的进步更增强了我的信心，在今后的教学中，我将继续结合本班孩子的特点，认真做好“逻辑狗”的教学工作，争取能让我们的孩子发展得更好。 错因分析：很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质。解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是进一步解决问题的突破口。抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理证明一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。 1987年，统编中学语文教材修订时，删去了逻辑常识的全部内容。对此，中学语文教学界议论纷纷，语文报刊上也偶有文章评论，主张在中学恢复逻辑常识的教学。笔者在多年的中学语文教学教研中，深切地体会到：中学不仅应恢复逻辑常识的教学，而且应该加强和改革这一教学。 一、恢复和加强逻辑教学是搞好中学语文教学的需要、深化中学语文教改的需要 近几年，笔者在教《常见文言虚词的用法》时，有意识地改变了过去那种按教材顺序讲解、训练的通常做法，运用了分类、比较、假设、分析、归纳等逻辑方法，引导学生对有可比性的文言虚词，特别是容易混淆的文言虚词，如“之”与“其”、“而”与“则”等等，在词性、作用、含义、句中位置等方面进行比较，具体感受在文句中把它们互换位置而产生的不同效果，分析归纳，找同中之异，求异中之同，列出条目，形成规律性的认识。学生普遍反映，这样做，理解得深，记忆得牢，运用得活。另外，我还把这种方法运用到文言文实词的教学，词法句法的教学，标点、翻译的教学，整体阅读的教学和古代文学、文化常识的教学等等方面。在中学语文其它内容的教学中我也作过多次尝试，都收到了比较理想的效果，证明了有意识的运用逻辑方法优于常规做法。 在多年的教学中，我体会到，中学语文的基本内容与逻辑有着极其密切的关系。人们常说，中学语文的基本内容是“字词句篇”、“语修逻文”、“听说读写”。其实，听、说、读、写是中学语文教学的基本形式和基本手段，而字、词、句、篇、语、修、逻、文才是基本内容。词语、句子、句群、段落、篇章本身就是概念、判断、推理。它们之间，是表与里、形式与内容的关系，是一个事物不可分割的两个方面。语法是规范遣词造句的尺度，修辞是把话说得好的手段，而逻辑则是各种文字符号和语言现象的实际内容，是各种语法规则和修辞手法得以成立的内在依据。逻辑的东西，只有用逻辑的方法去学习，才能快速理解、掌握，快速形成能力。各种语文基础知识的掌握和运用，各种语文能力的培养和形成，都不能离开逻辑。譬如现代文阅读吧，捕捉和提取明显信息，领悟和明确隐含信息，离不开概念、判断、推理。段落层次的划分，段意层次以及整篇文章中心的准确把握，离不开分析归纳、比较假设、判断推理。目前，中学生的现代文阅读是个薄弱环节，历年高考中得分率最低，与社会的发展很不适应。产生这种状况的原因很多，其中重要的一条，就是大多数学生缺乏最起码的逻辑常识，思维不上路子，不合最基本的'逻辑规则。现代文阅读，所需要具备的最根本能力是理解能力。理解就是思维。正确的理解，要求思维主体对思维客体进行思维的过程、方法、角度符合思维的规律和规则。学生如果没有掌握必要的逻辑常识，没有经过比较严格的逻辑训练，就很难有较强的理解能力，也就很难有比较高的现代文的阅读能力。目前改进现代文阅读教学的一个根本措施就是恢复和加强逻辑教学，加强学生阅读现代文的逻辑思维训练，使学生养成正确地运用逻辑常识和逻辑方法阅读现代文的良好习惯。作文教学更是如此。记叙文与形象思维，议论文与逻辑思维，审题立意与概念判断、分析综合、假设比较，论据论证与判断推理、归纳演绎、同一律、矛盾律、排中律等，谋篇布局层次结构与种种推理和逻辑方法，它们之间的关系都十分密切。十几年来，中学作文教学的改 1、应该充分应用情境导入 学生的数学学习内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的。因为只有用学生熟悉的、有兴趣的、贴近他们现实生活的内容进行教学，才能唤起他们的学习兴趣，调动学习积极性，使学生感受到生活与数学知识是密不可分的，使数学课富有浓郁的生活气息，从而产生学生的探求数学的动机，主动应用数学去思考问题、解决问题。 2、概念的分析不够到位 互余和互补的概念重在区别共顶点的角的关系和不公顶点的角的关系，及数的关系和形的关系。只只注重数的关系，而忽略了形的关系，是教学的缺陷。 总之，本次活动对我而言，是一次宝贵的学习机会，令我受益匪浅，感慨良多，希望自己能多参加这样的活动，学习别人的长处，不断提高自己的业务水平。 要重视形象思维。 首先在教学中教师要尽可能地运用形象。形象思维能促进学生的心理活动更加丰富，有助于他们更深刻地认识事物的本质和规律。研究表明，富有创造性的学生形象思维一般能达到较高水平。“火车过桥”问题是学生很难理解的一类行程问题，记得在教学时我信手拈来，很自然恰当地运用了教室里现在的物品进行操作演示：把讲台当做桥，一把米尺当成火车，来演示火车过桥，我先让学生理解“过桥”并进行演示，通过演示明确“车头上桥到车尾离桥”才叫“火车过桥”，接着再弄清火车过桥所行的路程，通过演示学生很容易明白火车过桥所行的路程就是桥长加车身的长度。直观可以让抽象的语言文字变成看得见的形象，可以降低学生思维的难度，可以帮助学生很好地理解知识、建构知识。 其次还应指导学生养成用直观化策略解决问题的习惯。如小明和小军去买同一本书，用小明的钱买这本书缺1.6元，用小军的钱买这本书缺1.8元，如果把两人的钱合并在一起买一本书则多2元，这本书单价是多少元?学生如果采用画图策略，那么问题便可迎刃而解。 要引导学生学会逐步的抽象。 首先教师在教学中要注重培养学生的抽象思维能力。抽象只有摆脱具体形象，才能使思维用算法化的方式得出新的结果。如一年级学习“9加几”的加法，当学生有一圈十、凑十的实物操作基础后，教师必须引导学生回到算式，抽象出算法，要算9加几的加法，先要想9加几等于10，再把第二个加数进行分解，最后再进行9+1+的计算。 其次抽象除了可以使思维概括、简约、深刻以外，还有发现真理的功能。所以教师还要指导学生用抽象的方法解决问题。在学习中可以表现为由原型匹型到抽象提升，如六年级有这样一类题：“一批布，做上衣可做20件，做裤子可做30条，这批布可做多少套衣服?(一套衣服是一件上衣和一条裤子)”“体育委员为班组购买文体用品。他带的钱正好可以买15副羽毛球拍或24副乒乓球拍。如果他已经买了10副羽毛球拍，那么剩下的钱还可买多少副乒乓球拍?”这些题都可以抽象成工程问题，通过抽象的方式解决问题。 孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。恰当地示明学思关系，才能取得良好的效果。在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式。要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。数学概念、定理是推理论证和运算的基础，准确地理解概念、定理是学好数学的前提。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力。 在例题课中要把解(证)题思路的发现过程作为重要的教学环节。不仅要学生知道该怎样做，还要让学生知道为什么要这样做，是什么促使你这样做，这样想的。这个发现过程可由教师引导学生完成，或由教师讲出自己的寻找过程。 在数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力。学会从条件到结论或从结论到条件的正逆两种分析方法。对一个数学题，首先要能判断它是属于哪个范围的题目，涉及到哪些概念、定理、或计算公式。在解(证)题过程中尽量要学会数学语言、数学符号的运用。 初中数学研究对象大致可分为两类，一类是研究数量关系的，另一类是研究空间形式的，即“代数”、“几何”。要使同学们熟练地掌握一些重要的数学方法，主要有配方法、换之法、待定系数法、综合法、分析法及反证法等。 培养兴趣，促进思维。兴趣是最好的老师，也是每个学生自觉求知的内动力。教师要精心设计每节课，要使每节课形象、生动，有意创造动人的情境，设置诱人的悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，并使同学们认识到数学在四化建设中的重要地位和作用。经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题。新教材中安排的“想一想”、“读一读”不仅能扩大知识面，还能提高同学的学习兴趣，是比较受欢迎的题材。 适当分段，分散难点，创造条件让学生乐于思维。如列方程解应用题是学生普遍感到困难的内容之一，主要困难在于掌握不好用代数方法分析问题的思路，习惯用小学的算术解法，找不出等量关系，列不出方程。因此，我在教列代数式时有意识地为列方程的教学作一些准备工作，启发同学从错综复杂的数量关系中去寻找已知与未知之间的内在联系。通过画草图列表，配以一定数量的例题和习题，使同学们能逐步寻找出等量关系，列出方程。并在此基础进行提高，指出同一题目由于思路不一样，可列出不同的方程。这样大部分同学都能较顺利地列出方程，碰到难题也会进行积极的分析思维。 知识和能力总是相辅相成的，在向学生传授数学知识的过程中，可以培养逻辑思维能力。只要把知识的教学，作为培养能力的载体，在传授知识中，渗透或介绍逻辑思维的规律和方法，可以收到良好的效果。逻辑思维是理性认识，培养逻辑思维能为，首先使学生感受鲜明的感觉、知觉和表象，形成具体、生动、形象的感性认识，然后通过分析和综合、抽象和概括等思维活动，对感性材料进行加工整理和改造制作，形成概念、判断，最后用语言表达思维的对象，先让学生意会，使他们有朦胧感知。 再分析，“它们都是由两条射线组成的，而且两条射线有公共端点”，最后抽象概括“这种由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角”。这种形成概念的过程，是从感性到理性的过程，在感性阶段，就是让学生对“角”有所意会，使之对角有朦胧感知，再给学生言传，使之明确领会。学生对逻辑思维的方法，从朦胧感知开始，经过一段时间的意会，在适当的时刻，可以明确地告诉学生概念、判断、推理等各种思维形式的特点、结构及其思维规律，对学生身教，使之有模可仿。教学中，教师要以身作则，作出示范，使学生学有榜样，可以模仿，教师的语言和板书，要准确严谨，富有条理，言之有据，合乎逻辑性，对学生回答问题的叙述，要求合乎逻辑性，要认真、细致，及时地纠正学生所犯的逻辑性错误。 逻辑思维能力是创造思维能力的基础，小学数学的教学大纲要求培养学生初步的思维能力。数学科目本身就有很多判断组成的确定体系，包括大量的数学术语、逻辑术语和相应的符号系统，通过逻辑推理，一些理论能够生成新的理论，一些判断能够生成新的判断，数学就是由这些理论和判断组成的。由于小学生受到年龄的限制，思维发展还处于起步阶段，小学数学内容上较为简单，没有很深的推理论证。 但是只要学习数学，就离不开判断推理，因此，学习数学的过程就是培养学生逻辑思维能力的过程。小学生还处于形象思维向逻辑思维的过渡阶段，在数学的教学之中去培养学生逻辑思维的能力，有利于培养学生的抽象思维能力，符合小学生思维发展的要求，适应了小学数学教学大纲，更为小学生未来的学习发展奠定了基础。 在很多时候，我发现学生在数学语言的表达方面都比较欠佳，尤其是一些拗口的语句对学生来说显得十分困难。于是我开始注意训练学生用恰当的语句来描述。例如，在苏教版六年制小学数学第九册“多边形的面积计算”中三角形的面积计算时，学生通过操作能发现用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形后，我就注意引导学生用精练的数学语言 有条理有根据地叙述公式的推导过程：即用两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高就是三角形的高，每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，根据平行四边形的面积等于底×高，所以三角形的面积就等于底×高÷2。 通过这样严格的数学语言的训练，不仅加强了学生的语言表达能力，同时又加深了学生对知识的理解和培养了学生的思维的逻辑性，有助于学生今后的学习。 自学，是学生在教师的知道下为了获取新知而独立开展的学习活动。要培养学生的独立思考能力，我们可以从学生的自学中进行。自学时，可以讨论，对于学生看不懂的地方请学生做上记号，然后通过师生之间、生生之间的交流而解决心中的疑问。长时间的训练之后，可以逐步培养学生独立学习知识和掌握技能的能力，发展学生的思维能力。 例如，在苏教版六年制小学数学第九册“商的近似值”中有一个教学环节是让学生认识循环小数的，当我出示了例题：40÷60，我采用了让学生尝试计算这道题目的商，在学生计算后发现商是不断重复出现，余数也不断重复出现。这时，我顺势引导学生进行自学，在自学过程中思考以下几个问题：像上述情况的小数是什么样的小数?小数可以分成几类?各自的特征是怎样的?无限小数都是循环小数吗?反之呢?自学后，就自学过程中的问题进行了师生和生生之间的交流。 在教师的指导下，学生通过自己看书、思考，同时辅以相互之间的讨论、质疑、学具的操作，达到了掌握知识、发展思维、提高自学能力的目的。 随机抽样 简介 (抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取; 优点：操作简便易行 缺点：总体过大不易实行 方法 (1)抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。 (抽签法简单易行，适用于总体中的个数不多时。当总体中的个体数较多时，将总体“搅拌均匀”就比较困难，用抽签法产生的样本代表性差的可能性很大) (2)随机数法 随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。 分层抽样 简介 分层抽样主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中的个体有明显差异。共同点：每个个体被抽到的概率都相等N/M。 定义 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样。 整群抽样 定义 什么是整群抽样 整群抽样又称聚类抽样。是将总体中各单位归并成若干个互不交叉、互不重复的集合，称之为群;然后以群为抽样单位抽取样本的一种抽样方式。 应用整群抽样时，要求各群有较好的代表性，即群内各单位的差异要大，群间差异要小。 优缺点 整群抽样的优点是实施方便、节省经费; 整群抽样的缺点是往往由于不同群之间的差异较大，由此而引起的抽样误差往往大于简单随机抽样。 实施步骤 先将总体分为i个群，然后从i个群钟随即抽取若干个群，对这些群内所有个体或单元均进行调查。抽样过程可分为以下几个步骤： 一、确定分群的标注 二、总体(N)分成若干个互不重叠的部分，每个部分为一群。 三、据各样本量，确定应该抽取的群数。 四、采用简单随机抽样或系统抽样方法，从i群中抽取确定的群数。 例如，调查中学生患近视眼的情况，抽某一个班做统计;进行产品检验;每隔8h抽1h生产的全部产品进行检验等。 求函数奇偶性的常见错误 错因分析：求函数奇偶性的常见错误有求错函数定义域或是忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断，在用定义进行判断时要注意自变量在定义域区间内的任意性。 抽象函数中推理不严密致误 错因分析：很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质。解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是进一步解决问题的突破口。抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理证明一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。 函数零点定理使用不当致误 错因分析：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也是方程f(c)=0的根，这个结论我们一般称之为函数的零点定理。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题。 混淆两类切线致误 错因分析：曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。因此求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。 混淆导数与单调性的关系致误 错因分析：对于一个函数在某个区间上是增函数，如果认为函数的导函数在此区间上恒大于0，就会出错。研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意：一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。 导数与极值关系不清致误 错因分析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这些错误的原因是对导数与极值关系不清。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，在此提醒广大考生在使用导数求函数极值时一定要注意对极值点进行检验。 用错基本公式致误 错因分析：等差数列的首项为a1、公差为d，则其通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2;等比数列的首项为a1、公比为q，则其通项公式an=a1pn-1，当公比q≠1时，前n项和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，当公比q=1时，前n项和公式Sn=na1。在数列的基础性试题中，等差数列、等比数列的这几个公式是解题的根本，用错了公式，解题就失去了方向。 an，Sn关系不清致误 错因分析：在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在关系：这个关系是对任意数列都成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点。当题目中给出了数列{an}的an与Sn之间的关系时，这两者之间可以进行相互转换，知道了an的具体表达式可以通过数列求和的方法求出Sn，知道了Sn可以求出an，解题时要注意体会这种转换的相互性。 对等差、等比数列的性质理解错误 错因分析：等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。一般地，有结论“若数列{an}的前N项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是等差数列。解决这类题目的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不正确的命题举出反例予以驳斥。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决有关问题时要注意这个特殊情况。 遗忘空集致误 错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合B高三经典纠错笔记：数学A，就有B=A，φ≠B高三经典纠错笔记：数学A，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了 B≠φ这种情况，导致解题结果错误。尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。 忽视集合元素的三性致误 错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。 四种命题的结构不明致误 错因分析：如果原命题是“若 A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a ，b都是奇数”。 充分必要条件颠倒致误 错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。 回忆一下初中学过的“等价于”这一概念；如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B。“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立；同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。 （3）定义与充要条件 数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。 显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。 “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。“仅当”表示“必要”。 （4）一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。 高考数学集合复习知识点 1、集合的概念 集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些制定的且不同的对象集合在一起就称为一个集合。组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母A、B、C、…来表示。元素常用小写字母a、b、c、…来表示。 集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。 2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a属于集合A，记做a∈A；元素a不属于集合A，记做a？A。 3、集合中元素的特性 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。例如A={0，1，3，4}，可知0∈A，6？A。 （2）互异性：“集合张的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。 （3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合{a，b，c}与集合{c，b，a}是同一个集合。 4、集合的分类 集合科根据他含有的元素个数的多少分为两类： 有限集：含有有限个元素的集合。如“方程3x+1=0”的解组成的集合”，由“2，4，6，8，组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此两个集合是有限集。 无限集：含有无限个元素的集合，如“到平面上两个定点的距离相等于所有点”“所有的三角形”，组成上述集合的元素不可数的，因此他们是无限集。 特别的，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记错F，如{x？R|+1=0}。 5、特定的集合的表示 为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见的数集表示方法，请牢记。 （1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记做N。 （2）非负整数集内排出0的集合，也称正整数集，记做N。或N+。 （3）全体整数的集合通常简称为整数集Z。 （4）全体有理数的集合通常简称为有理数集，记做Q。 （5）全体实数的集合通常简称为实数集，记做R。 不等式的解集： ①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 不等式的判定： ①常见的不等号有“>”“ ②在不等式“a>b”或“a ③不等号的开口所对的数较大，不等号的尖头所对的数较小； ④在列不等式时，一定要注意不等式关系的关键字，如：正数、非负数、不大于、小于等等。<三> 高考数学逻辑思想总结
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